[Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức.

[l0v3_sweet_381]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.
[TEX]\mid a+b \mid < \mid 1+ab \mid [/TEX]với [TEX]\mid a \mid < 1[/TEX], [TEX]\mid b \mid < 1[/TEX]
2.
[TEX]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}[/TEX] với mọi n € N*
3.
[TEX]\frac{a+b}{1+a+b}\leq\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}[/TEX] với mọi a\geq0, b\geq0.

 

[nttthn_97]

1)
$|a|<1,|b|<1$[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$a^2-1<0; b^2-1<0$

$|a+b|<|1+ab|$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$a^2+b^2+2ab<1+2ab+a^2b^2$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]$(a^2-1)(b^2-1)>0$ đúng


2) Gọi VT là S

Với n=1

$S_1>\frac{1}{2}$ BĐT thức đúng vs n=1

Giả sử BĐT đúng vs n=k+1

$S_{k+1}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...\frac{1}{2k+2}$

$S_{k+1}-S_k=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}$

$=\frac{1}{(2k+2)(2k+1)(k+1)}>0$

[TEX]\Rightarrow[/TEX]$S_{k+1}>S_k >\frac{1}{2}$

[TEX]\Rightarrow[/TEX]đpcm

 

[nttthn_97]

3)
$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

$=\frac{a+b+2ab}{a+b+1+ab}$[TEX]\geq[/TEX]$\frac{a+b+ab}{a+b+1+ab}$

Đặt $a+b+ab=x$

$a+b=y$ ($x$[TEX]\geq[/TEX]$y$

Vk phải cm $\frac{x}{x+1}$[TEX]\geq[/TEX]$\frac{y}{1+y}$ với $x$[TEX]\geq[/TEX]$y$)

................ )