[Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức

[evilghost_of_darknight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho a,b,c > 0 và [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a}{b^2 + c^2}+\frac{b}{a^2 + c^2}+\frac{c}{b^2 + a^2}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Bài 2: Cho a,b,c > 0 CMR :
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq\frac{a+b+c}{abc}[/TEX]

 

[minh0972]

câu a trước này bạn cộng cái đầu cho (b^2+c^2)/4 mấy cái sau tương tự rồi dung bđt Cauchy sau đó cố gắng biến đổi để dung buniacopxki 2 lần là ra. mình nhác viết nên chỉ hướng dẫn thôi.

 

[son9701]

Bài 1:Cho a,b,c > 0 và [TEX]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/TEX]
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a}{b^2 + c^2}+\frac{b}{a^2 + c^2}+\frac{c}{b^2 + a^2}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
Bài 2: Cho a,b,c > 0 CMR :
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq\frac{a+b+c}{abc}[/TEX]

1/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số k âm:

$$ \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{9a(b^2+c^2)}{4} \ge 3a $$

CMTT,cộng vế và chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=1$ nên :

$$ \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \ge \frac{3}{4}(a+b+c)+ \frac{9}{4}(a^3+b^3+c^3) $$ (1)

1 lần nữa áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{9}{4}a^3 \ge \frac{3\sqrt{3}a^2}{2} $$

Tương tự làm với b;c cộng vế,kết hợp vs (1) ta có đpcm

2/Vì $a^2;b^2;c^2$ \geq $0$ nên

$$ \frac{1}{a^2+bc} \le \frac{1}{bc} $$

tương tự cộng vế suy ra đpcm

P/s: Có lẽ bài 2 là 1 bất đẳng thức khác vì bất đẳng thức này dấu "=" k xảy ra

 

[evilghost_of_darknight]

1/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số k âm:

$$ \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{9a(b^2+c^2)}{4} \ge 3a $$

CMTT,cộng vế và chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=1$ nên :

$$ \frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2} \ge \frac{3}{4}(a+b+c)+ \frac{9}{4}(a^3+b^3+c^3) $$ (1)

1 lần nữa áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{9}{4}a^3 \ge \frac{3\sqrt{3}a^2}{2} $$

Tương tự làm với b;c cộng vế,kết hợp vs (1) ta có đpcm

2/Vì $a^2;b^2;c^2$ \geq $0$ nên

$$ \frac{1}{a^2+bc} \le \frac{1}{bc} $$

tương tự cộng vế suy ra đpcm

P/s: Có lẽ bài 2 là 1 bất đẳng thức khác vì bất đẳng thức này dấu "=" k xảy ra

Cảm ơn cách giải của bạn. Bài 2 mình cũng có ra đáp án như bạn . Còn bài 1 thì mình có cách giải khác như sau, bạn tham khảo xem có được không nhé ^^
[TEX]\frac{2a^2 +(b^2+c^2)+(b^2+c^2)}{3}\geq\sqrt[3]{2a^2(b^2+c^2)^2 }[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2(b^2+c^2)^2\leq4/27 \Rightarrow \frac{1}{b^2+c^2}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b^2+c^2}\geq\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]
Cộng từng vế kết hợp với điều kiến đề bài suy ra đpcm.