[Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức.

[hailixiro142]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
[TEX]\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}} \geq 3\sqrt{2}[/TEX]

_____________________________
tks for all! ~

 

[huytrandinh]

áp dụng bất đẳng thức vector trong mặt phẳng tọa độ ta có
$P=\sum \sqrt{a^{2}+\dfrac{1}{b^{2}}}$
$\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}$
mặc khác
$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
$\geq 9$
$<=>(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^{2}$
$\geq \dfrac{81}{(a+b+c)^{2}}$
$=>P\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+\frac{81}{(a+b+c)^{2}}}$
$\geq \sqrt{2\sqrt{(a+b+c)^{2}.\dfrac{81}{(a+b+c)^{2}}}}=3\sqrt{2}$

 

[bosjeunhan]

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:
$$a^2+\dfrac{1}{b^2} \ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}}=\dfrac{2a}{b}$$
Vậy $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{\dfrac{2a}{b}}$
Tương tự ta có:
$$\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{ c^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \sqrt{ \dfrac{2a}{b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{c}}+ \sqrt{ \dfrac{2c}{a} }$$
Mà $\sqrt{\dfrac{2a}{b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{c}}+\sqrt{ \dfrac{2c}{a} } = \sqrt{2}.(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a}})$
Lại có: $\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt{ \dfrac{c}{a} } \ge 3.\sqrt[3]{ \dfrac{a.b.c}{b.c.a} } = 3$
(Theo BĐT Cauchy cho 3 số dương)
Vậy $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{ c^2+\dfrac{1}{a^2} } \ge 3\sqrt{2}$

Tớ làm bừa nhé ~Ko bik đúng sai