Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức

[hailixiro142]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}[/TEX]
Chứng minh: [TEX]a+ b+c \geq \frac{9}{4}\sqrt{abc}[/TEX]
Khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra?

Bài 2. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+c^2} \leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX] với a > 0, b>0, c>0.

_________________________
tks for all!

 

[sofia1997]

$\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\leq \frac{a}{2ab}+\frac{b}{2bc}+\frac{c}{2ac}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

[vy000]

1) Có : $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \ge 9abc$

$4\sqrt{abc}(a+b+c)\ge 9abc$

$a+b+c \ge \dfrac94 \sqrt{abc}$




2)$\sum \dfrac a{a^2+b^2} \le \sum \dfrac a{2ab} =\sum \dfrac 1{2b} = \dfrac12\Big(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c \Big)$

 

[huytrandinh]

câu 1 ta có từ đk suy ra
$4=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}$
thay vào bất đẳng thức cần cm ta được
$a+b+c\geq \frac{9\sqrt{abc}.\sqrt{abc}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$<=>(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc$
$.a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
$.a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
$=>(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc$
dấu đẳng thức khi a=b=c
câu 2 ta có
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab<=>\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2b}$
tương tự cho 2 biểu thức còn lại cộng vế theo vế ta có đpcm