[Toán 10]chứng minh bất đẳng thức

[endless_life]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c là 3 số dương và $\dfrac{a}{b} \leq 1$.

chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{b} \leq \dfrac{a+c}{b+c}$

 

[vitconvuitinh]

\frac{a}{b} \leq 1 (1)
=> a \leq b (a,b > 0)
=> a + c \leq b + c
=> (a+c)/(b+c) \leq 1 (2)
(1)(2) => \frac{a}{b} \leq (a+c)/(b+c)

Từ (1) và (2) mà suy ra đpcm như vậy là ko đúng đâu bạn (chẳng lẽ 0.5<1; 0<1=>0.5<0 à)
Câu trả lời là:
Ta có: [TEX]\frac{a}{b}\leq 1 \Leftrightarrow a \leq b \Leftrightarrow ac \leq bc [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab+ac \leq ab+bc \Leftrightarrow a(b+c) \leq b(a+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+c}[/TEX]

 

[noinhobinhyen]

bđt cần chứng minh :

$\Leftrightarrow a(b+c) \leq b(a+c)$

$\Leftrightarrow ab+ac \leq ba+bc$

$\Leftrightarrow ac \leq bc$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \leq 1$ (điều đã có)


Vậy bđt trên được chứng minh .

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a=b$