[Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức

[duyanh_12345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh

1. (hoàn thành)
[TEX]1 < \frac{a}{a + b + c} + \frac{b}{b + c + d} + \frac{c}{c + d + a} + \frac{d}{c + d + a} < 2[/TEX]


2. (hoàn thành)
[TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}[/TEX]


3. (hoàn thành)
[TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \geq \frac{1}{a + b + c + d}[/TEX]


4. (hoàn thành)
[TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Điều kiện của 4 phần: a, b, c, d > 0


5.
|a + b| < |1 + ab|

(với |a| < 1, |b| < 1)


6. Tìm min f(x)

[TEX]f(x) = (x - a)^2 + (x - b)^2 (a \neq b)[/TEX]

 

[minhtuyb]

1. Vì [TEX]a,b,c,d>0[/TEX] nên:
+)[TEX]\sum \frac{a}{a+b+c}>\sum \frac{a}{a+b+c+d}=1<DPCM1>[/TEX]
+)[TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}<\frac{a}{a+c}[/TEX][TEX]+\frac{c}{c+a}=1[/TEX]
[TEX]\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}<\frac{b}{b+d}[/TEX][TEX]+\frac{d}{d+b}=1[/TEX]
Cộng 2 vế lại ta có <DPCM2>
2,3. Schwar là ra, với cả BĐT 3 là [TEX]\sum \frac{1}{a}\geq \frac{16}{a+b+c+d}[/TEX] mới đúng chứ nhỉ
4.Chuẩn hóa: [TEX]abc=1[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4}\geq \sum 2\sqrt{\frac{a}{b+c}\frac{b+c}{4}}=\sum a[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \sum a-\sum \frac{b+c}{4}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[duyanh_12345]

4.Chuẩn hóa: [TEX]abc=1[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{b+c}{4}\geq \sum 2\sqrt{\frac{a}{b+c}\frac{b+c}{4}}=\sum a[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \sum a-\sum \frac{b+c}{4}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

Bài 4 sai rồi.

Ngay dòng đầu ý [TEX]\sqrt{a}[/TEX] chứ không phải a.

Dù sao cũng thanks người. Câu nỳ làm được rồi.

 

[rungtrucxanh]

[TEX]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{c+d+a}< 2[/TEX]

[TEX]\frac{a}{b+c+d} > \frac{a}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{a+c+d} >\frac{c}{b+c+d+a}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{b+c+d} >\frac{b}{b+c+d+a}[/TEX]
[TEX]\frac{d}{a+b+c+d} >\frac{d}{b+c+d+a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{c+d+a}[/TEX]

[TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}= 1[/TEX]
[TEX]\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{b+d}= 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+ \frac{d}{c+d+a} < 2[/TEX]
2.

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}[/TEX]
[TEX]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX][TEX] (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}). (a+b+c) \geq 9[/TEX]
4.

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](2a+2b+2c).(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \geq 9[/TEX] ( c/m điều này tương tự câu b) [TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
5.

|a| < 1, |b| < 1
Chứng minh |a + b| < |1 + ab|

ĐK [TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX](a^2-1).(b^2-1) > 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab)^2-a^2-b^2+1 > 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](ab)^2+2ab+1 > a^2+2ab+b^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX] (ab+1)^2 >(a+b)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]|ab+1| > |a+b|[/TEX]