[Toán 10]Chứng minh Bất đẳng thức

[stork_pro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bai` 1 : cho a;b;c lớn hơn 0
tm/dk : a+b+c=1
CMR :
[TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{a+c}+\frac{c^2+a}{a+b}[/TEX][TEX]\geq 2[/TEX]

bai` 2: cho a;b;c lớn hơn 0

CMR :
[TEX]\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3ab+3bc+3ac}{a+b+c}[/TEX]

bai` 3 : cho a;b;c lớn hơn 0
CMR :

[TEX]\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ac}{a+c+2b}[/TEX] \leq [TEX]\frac{a+b+c}{4}[/TEX]

 

[tuyn]

2/ ta có [TEX]VT=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2-ab+b^2}-2(a+b+c)=(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{1}{a^2-ab+b^2})-2(a+b+c) \geq (a^3+b^3+c^3).\frac{9}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}-2(a+b+c) \geq a+b+c[/TEX]
việc còn lại là CM [TEX]a+b+c \geq \frac{3ab+3bc+3ca}{a+b+c}[/TEX]

 

[dandoh221]

bai` 1 : cho a;b;c lớn hơn 0
tm/dk : a+b+c=1
CMR :
[TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{a+c}+\frac{c^2+a}{a+b}[/TEX][TEX]\geq 2[/TEX]

bai` 2: cho a;b;c lớn hơn 0

CMR :
[TEX]\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ac+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{3ab+3bc+3ac}{a+b+c}[/TEX]

bai` 3 : cho a;b;c lớn hơn 0
CMR :

[TEX]\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ac}{a+c+2b}[/TEX] \leq [TEX]\frac{a+b+c}{4}[/TEX]

Bài 1. Theo bdt hoán vị :
[TEX]\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \sum \frac{ac}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \ge \sum \frac{ac+b}{b+c} = \sum \frac{ac+b(a+b+c)}{b+c} = \sum \frac{(b+c)(b+a)}{b+c} = 2[/TEX]
Bài 3.
[TEX]\frac{ab}{a+b+2c} \le \frac{1}{4}.(\frac{ab}{a+c} + \frac{ab}{a+b})[/TEX]
làm 2 cái nữa cộng lại ta đc đpcm

 

[keropik]

cách khác

bai` 1 : cho a;b;c lớn hơn 0
tm/dk : a+b+c=1
CMR :
[TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{a+c}+\frac{c^2+a}{a+b}[/TEX][TEX]\geq 2[/TEX]

(bdt schwarz)
*Mà:

(c/m t^2 nesbitt)Cộng 2 vế ta có DPCM

 

[dandoh221]

nesbit:-o:-o:-o:-o

 

[keropik]

nesbit:-o:-o:-o:-o

Đã nói là C/m tt mà, có ai bảo là nb đâu
//

 

[dandoh221]

Nhầm, nhưng bdt này ko đúng bạn à , ko tin bạn thử cm cho mình xem đi

 

[darkdevil225]

có ai chỉ cho mình bdt hoán vị là gì không????
các bạn giải thích dùm mình [tex]\sum[/tex] là gì luôn nha. mình chưa học.

 

[keropik]

Nhầm, nhưng bdt này ko đúng bạn à , ko tin bạn thử cm cho mình xem đi

Ừh, Mình nhầm ::khi (185)::khi (153):thanks bạn đã chỉ giáo:khi (67): Mình sẽ tìm cách khác:khi (24): hì

 

[quyenuy0241]

Bài 1. Theo bdt hoán vị :
[TEX]\sum \frac{a^2}{b+c} \ge \sum \frac{ac}{b+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \ge \sum \frac{ac+b}{b+c} = \sum \frac{ac+b(a+b+c)}{b+c} = \sum \frac{(b+c)(b+a)}{b+c} = 2[/TEX]

[tex]\frac{a^2+b}{b+c}= \frac{a(1-b-c)+b}{b+c}=\frac{a+b}{b+c}-a [/tex]

Tương tự và cộng lại ta thu được:

[tex]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{a+c}+\frac{c^2+a}{a+b} =\sum{\frac{a+b}{b+c} -(a+b+c) \ge 3-1=2 [/tex]

@: [tex]\sum{\frac{a+b}{b+c} \ge 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3 [/tex]