Chứng minh rằng với mọi sô thực a, b, c, x, y, Ta có:
- a[TEX]^2[/TEX] + b[TEX]^2[/TEX] + c [TEX]^2[/TEX] + 3\geq2(a+b+c)
- 5x[TEX]^2[/TEX] 5y[TEX]^2[/TEX] + 8xy + 2y - 2x + 2 \geq0
- x[TEX]^4[/TEX] + y[TEX]^4[/TEX] \geq x[TEX]^3[/TEX]y + xy[TEX]^3[/TEX]
- (a + b + c)[TEX]^2[/TEX]\leq3(a + b + c) {Hoặc 3(a[TEX]^2[/TEX] + b[TEX]^2[/TEX] + c[TEX]^2[/TEX]
Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào:
- (a + b)(ab + 1)\geq4ab
- (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc
Các bài tập trên đều là những bài bất đẳng thức khá sơ cấp.
Mình xin nhắc lại 1 vài khái niệm lỳ thuyết để bạn nắm vững:
- 1. Bất đẳng thức Cauchy:
Với a, b không âm, ta luôn có:
[TEX]a + b \geq 2 \sqrt{ab}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi: a = b.
- 2. Một vài hằng đẳng thức đáng nhớ trong khi làm bất đẳng thức:
Thiệt ra số hằng đẳng thức cần nhớ trong khi giải các bài bất đẳng thức là rất nhiều, vì bất đẳng thức vốn vô cùng đa dạng. Nhưng để giải các bài tập bất đẳng thức căn bản thì ta chỉ cần lưu ý một vài điều sau đây:
- [TEX]x^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}[/TEX]
- [TEX](a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2[/TEX]
- [TEX](a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac[/TEX]
Mình sẽ làm mẫu cho bạn 1 bài, các bài khác có thể được làm với tiêu chí tương tự.
[TEX]a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 3 \geq 2(a + b + c)[/TEX]
Cách 1: Gôm về bình phương để chứng minh:
[TEX]a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 3 \geq 2(a + b + c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 3 - 2(a + b + c) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a ^ 2 - 2a + 1) + (b ^ 2 - 2b + 1) + (c ^ 2 - 2c+1) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 \geq 0[/TEX] (Đúng)
Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy:
Ta có:
[TEX]a ^ 2 + 1 \geq 2\sqrt{a ^ 2 . 1} = 2a[/TEX]
[TEX]b ^ 2 + 1 \geq 2\sqrt{b ^ 2 . 1} = 2b[/TEX]
[TEX]c ^ 2 + 1 \geq 2\sqrt{c ^ 2 . 1} = 2c[/TEX]
Cộng vế theo vế, ta được:
[TEX]a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 3 \geq 2(a + b + c)[/TEX]
----------------------------------------
Bạn thử giải các bài còn lại xem, hướng làm hoàn toàn tương tự áh.
Nếu bạn có thắc mắc gì, cứ việc post, mình và các bạn khác trên 4rum sẵn sàng giúp đỡ bạn.
Thân,
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn