[Toán 10] chứng minh bất đẳng thức khó quá

[casaultk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng :

[TEX]a^3 +b^3 \geq \frac{1}{4}[/TEX] với [TEX]a+b=1[/TEX]

 

[sparda9999]

[TEX]a+b=1 [/tex]
[tex]=> a=1-b[/TEX]

bạn lập phương 2 vế lên rồi chuyển [TEX] -(b^3) [/TEX] sang vế [TEX]a^3[/TEX]

kết hợp với [tex]3ab(a+b)=3ab\leq 3. \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{3}{4}[/tex]

đến đó là xong rồi

 

[bosjeunhan]

chứng minh rằng :
a^3 +b^3 \geq 1/4 với a+b=1

Ta có: [TEX]a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)= (a+b)^2 - 3ab = 1 - 3ab[/TEX]
Lại có: [TEX](a-b)^2 \geq 0 [/TEX] Với mọi a,b
Nên [TEX](a+b)^2 \geq 4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow - ab \geq \frac{-1}{4} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow - 3ab \geq \frac{-3}{4}[/TEX]
Vậy [TEX]a^3+b^3 \geq 1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}[/TEX]
Dấu "=" có [TEX]\Leftrightarrow a=b= \frac{1}{2}[/TEX]

 

[son9701]

Cách mềnh hơi dài chút :

Dùng cân bằng bậc :
Bất đẳng thức cần cm tg đg vs:
[TEX]a^3+b^3 \geq \frac{(a+b)^3}{4} \Leftrightarrow 4(a^3+b^3) \geq a^3+b^3+3ab(a+b) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX](đúng)

 

[asroma11235]

Cách mềnh hơi dài chút :

Dùng cân bằng bậc :
Bất đẳng thức cần cm tg đg vs:
[TEX]a^3+b^3 \geq \frac{(a+b)^3}{4} \Leftrightarrow 4(a^3+b^3) \geq a^3+b^3+3ab(a+b) \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX](đúng)

Cách khác:
Ta có:
[TEX](a+b)(a^3+b^3) \geq^{Cauchy-Schwarz} (a^2+b^2)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3 \geq (a^2+b^2)^2[/TEX]
Lại có:[TEX](a^2+b^2)^2 \geq (\frac{(a+b)^2}{2})^2= \frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \vec{Q.E.D}[/TEX]