[Toán 10] Câu hỏi ôn thi học kì ( bất đẳng thức)

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề thi học kì trường mình năm ngoái
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c} \geq 4[/TEX]

 

[nghi03]

$ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{b.c.a}} = 3 \\
a+b+c \ge 3\sqrt[3]{a.b.c}=3$
thay vào BPT ban đầu sẽ dc đpcm
k pk dung k,hjhj

 

[vuive_yeudoi]

Đề bài. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng:

[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c} \geq 4[/TEX]
​

Lời giải. Dùng AM-GM có

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{b^2c}} = 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=3a[/TEX]

[TEX]\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{\frac{b^2c}{c^2a}} = 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{abc}}=3a[/TEX]

[TEX]\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \ge 3\sqrt[3]{\frac{c^2a}{a^2b}} = 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{abc}}=3a[/TEX]​

Cộng vế với với thu được

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \ge a+b+c[/TEX]​

Ta thấy

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c} \ge \left( a+b+c \right)+\frac{3}{a+b+c}=\left(\frac{a+b+c}{3}+ \frac{3}{a+b+c} \right) +\frac{2 \left( a+b+c \right)}{3} \ge 2+2=4[/TEX]​

Đó chính là điều cần chứng minh.

 

[tensa_zangetsu]

Ta có:
Áp dụng BDT Cauchy:
$\sum \dfrac{a}{b} \ge 3$ $(1)$

Bất đẳng thức cần chứng minh: $\sum \dfrac{a}{b} + \dfrac{3}{\sum a} \ge 4$

Giờ cần chứng minh $\sum a \le 3$ hay $\sum a \le \sum \dfrac{a}{b}$

Có:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}} = 3\sqrt[3]{\dfrac{a^3bc}{abc}}=3a$ (vì $abc=1$)

Tương tự:
$\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 3b$

$\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b} \ge 3c$

Cộng các vế ta được: $\sum \dfrac{a}{b} \ge \sum a$$(2)$
Từ $(1), (2)$ ta suy ra được dpcm

 

[buivanbao123]

$ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{b.c.a}} = 3 \\
a+b+c \ge 3\sqrt[3]{a.b.c}=3$
thay vào BPT ban đầu sẽ dc đpcm
k pk dung k,hjhj

Sai rồi bạn Ta có a+b+c \geq $3.\sqrt[3]{abc}$
\Rightarrow $\dfrac{3}{a+b+c}$ \leq 1
Mà $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{b.c.a}} = 3 $
2 về ngược nhau nên không suy ra được bất đẳng thức

 

[zezo_flyer]

[TEX]\left(\frac{a+b+c}{3}+ \frac{3}{a+b+c} \right) +\frac{2 \left( a+b+c \right)}{3} \ge 2+2=4[/TEX]​

Em không hiểu đoạn này .
[TEX]\left(\frac{a+b+c}{3}+ \frac{3}{a+b+c} \right) \geq 2[/TEX] (hiểu)
còn [TEX]\frac{2 \left( a+b+c \right)}{3}[/TEX] tại sao [TEX]\geq 2 [/TEX]

___________________________________________________________________________

 

[vuive_yeudoi]

Em không hiểu đoạn này .
[TEX]\left(\frac{a+b+c}{3}+ \frac{3}{a+b+c} \right) \geq 2[/TEX]

Đó là do bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương

[TEX]\frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{a+b+c} \ge 2\sqrt{\left( \frac{a+b+c}{3} \right) \cdot \left(\frac{3}{a+b+c} \right)}=2 [/TEX]​

còn [TEX]\frac{2 \left( a+b+c \right)}{3}[/TEX] tại sao [TEX]\geq 2[/TEX]

Dùng AM-GM cho ba số dương [TEX]\displaystyle a,b ,c[/TEX]

[TEX]a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=3[/TEX]​

vì $ \displaystyle abc=1 $ theo giả thiết đề bài .

Nếu em có
$$ M \ge N \ge 0 $$
thì với $ K \ge 0 $ nào đó thì em cũng có
$$ MK \ge NK \ge 0 $$
bởi vì
$$ MK-NK = K \left( M-N \right) \ge 0 $$
Dùng điều đó với
$$ a+b+c \ge 3 >0 $$
thì nhân hai vế cho một số dương $ \displaystyle \frac{2}{3} >0 $ thì không làm đổi chiều bất đẳng thức. Tức là
$$ \frac{2 \left( a+b+c \right)}{3} \ge \frac{2 \cdot 3}{3}=2 $$