[Toán 10]Cần gấp CM bất đẳng thức

[pmt94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR:
[tex]\frac{\sqrt{a^2+abc}}{c+ab}+\frac{\sqrt{b^2+abc}}{a+bc}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{b+ca}\leq \frac{1}{2\sqrt{abc}}[/tex]
Bạn nào làm được thì giải hộ mình nhé! Thx nhiều

 

[rua_it]

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR:
[tex]\frac{\sqrt{a^2+abc}}{c+ab}+\frac{\sqrt{b^2+abc}}{a+bc}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{b+ca}\leq \frac{1}{2\sqrt{abc}}[/tex]
Bạn nào làm được thì giải hộ mình nhé! Thx nhiều

Bổ đề:
Ta đổi biến, đặt [tex]p=a+b; q=ab+bc+ca; r=abc[/tex]
\Rightarrow ta có bổ đề [tex]r \leq \frac{q^2(1-q)}{2.(2-3q)}(1)[/tex]
Áp dụng [tex]BDT[/tex] [tex]Bunyakovski[/tex], ta có:
[tex]{\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a^2+abc}}{(b+c)(b+a)}}^2 \leq \sum_{cyc} \frac{a}{(a+b)(b+c)}(\sum_{cyc} \frac{a+c}{b+c}) =\frac{\sum_{cyc} a^2+ \sum_{cyc} ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}.(\sum_{cyc} \frac{a+c}{b+c})[/tex]
Mà ta lại có: [tex]\sum_{cyc} \frac{a+c}{b+c} = \sum_{cyc} \frac{1}{b+c} - \sum_{cyc} \frac{b}{b+c} \leq \sum_{cyc} \frac{1}{b+c} - \frac{{(a+b+c)}^2}{\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} ab}[/tex]
\Rightarrow Ta chỉ cần phải chứng minh
[tex]\frac{1}{4abc} \geq \frac{\sum_{cyc} a^2+ \sum_{cyc} ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}.(\sum_{cyc}\frac{1}{b+c} - \frac{1}{\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} ab})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{4r} \geq \frac{1-q}{q-r}.(\frac{1+q}{q-r}-\frac{1}{1-q})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\geq \frac{4(1-q^2)}{q-r} -\frac{q}{r}[/tex]
[tex](1) \Rightarrow dpcm [/tex]
đảng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}[/tex]