[Toán 10] Cân bằng hệ số trong bđt

[iloveyou123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Giả sử các số thực x,y,z thỏa mãn $2xyz = 3x^2+4y^2+5z^2$ . Tìm MIN: P = $3x+2y+z$

Câu 2: Cho $x,y,z > 0$ và $x+y+z = 3$. Tìm MIN: $x^2+y^2+z^3$

Câu 3: Cho $a,b \ge 0$ và $a^2+b^2 = 5$. CMR: $a^3+b^6 \ge 9$

Câu 4: Cho a,b,c > 0 và $abc = 8$. CMR: $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \ge 2$

 

[hien_vuthithanh]

1/

Câu 2: Cho $x,y,z > 0$ và $x+y+z = 3$. Tìm MIN: $x^2+y^2+z^3$

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$

Ta có $2xy \le x^2+y^2$

TT \Rightarrow $2(xy+yz+zx) \le 2(x^2+y^2+z^2)$

\Rightarrow $ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \le 3(x^2+y^2+z^2) $

\Leftrightarrow $(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) $

\Leftrightarrow $x^2+y^2+z^2 \ge 3$

 

[vipboycodon]

Câu 2:
Áp dụng bđt cô-si ta có:

$x^2+(\dfrac{19-\sqrt{37}}{12})^2 \ge 2\dfrac{19-\sqrt{37}}{12}x$

$y^2+(\dfrac{19-\sqrt{37}}{12})^2 \ge 2\dfrac{19-\sqrt{37}}{12}y$

$z^3+(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6})^3+(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6})^3 \ge 3(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6})^2z$

Cộng vế với vế $\rightarrow$ Min $x^2+y^2+z^3$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \dfrac{19-\sqrt{37}}{12}$ , $z = \dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}$

 

[hien_vuthithanh]

Câu 4: Cho a,b,c > 0 và $abc = 8$. CMR: $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \ge 2$

Câu này sai đề rồi ,ví dụ $ a=1 ,b=2,c=4$ thì BDT sai

Theo mình thì phải là $\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \le 2$

Nếu thế thì c/m được

$\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \le 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1} \ge 1$

\Leftrightarrow $\dfrac{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)} \ge 1$

\Leftrightarrow $ ab+bc+ca +2(a+b+c)+3 \ge abc +ab+bc+ca +a+b+c +1$

\Leftrightarrow $a+b+c +2 \ge abc$ (Lđ vì $a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}=6 $\Rightarrow $a+b+c +2 \ge 8= abc$)

 

[lp_qt]

Câu 2
$a^3+a^3+ 8 \ge 3.\sqrt[3]{a^3.a^3.8}=6.a^2$

$b^6+1+1 \ge 3.\sqrt[3]{y^6.1.1}=3.b^2$

\Rightarrow $2(a^3+b^6)+8+4 \ge 6.a^2+6.b^2=6.(a^2+b^2)=30$

\Rightarrow $a^3+b^6 \ge 9$

\Rightarrow đpcm.