[Toán 10] Cách ngắn nhất

[bosjeunhan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề toán và xem thử là cách của ai ngắn nhất, hợp lí với kiến thức của lớp 10 nhất

Cho $a,b,c$ không âm, chứng minh:
$( \dfrac{4a}{b+c} +1 )( \dfrac{4b}{c+a} + 1 )( \dfrac{4c}{a+b} + 1) \ge 25$

Sau biến đổi thành $\sum a^3 + 7abc \ge \sum ab(a+b)$

Ok...tiếp tục ~

 

[thienlong_cuong]

ta có

[TEX]\sum a(a-b)(a-c) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum a^{3} - \sum ab(a +b) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (\sum a)(\sum a^2 - \sum ab) + 9abc \geq (\sum a)(\sum ab)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 - 3abc + 9abc \geq (\sum a)(\sum ab)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq \sum ab(a+b)[/TEX]

Nếu thêm nữa thì chắc lên đc 5 dòng nữa !? vậy là 9 dòng ùi !?

 

[bosjeunhan]

Do bất đẳng thức hoán vị nên ta giải sử $c = min \{a,b,c\}$ ta có$(a-b)^2(a+b) \ge (a-b)^2c$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + 2abc \ge ab(a+b) + c(a^2+b^2)$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ac(c+a) + c(c-a)(c-b)$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ac(c+a)$

 

[vy000]

Giả sử $c \ge a \ge b$

$b(b-a)(b-c) \ge 0$

$(a+c)(a-c)^2 \ge 0$

$ab(2c-a-b) \ge 0$

Cộng lại:

$ab(2c-a-b) +(a+c)(a-c)^2 +b(b-a)(b-c) \ge 0$

\Leftrightarrow $2abc-ab(a+b) + a^3+c^3-ac(a+c) + b^3+abc-bc(b+c) \ge 0 $

\Leftrightarrow $a^3+b^3+c^3 + 3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$