[Toán 10] Các bài BDT!!!

[longtt1992]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình lập ra chủ đề này mong các bạn và các anh chị lớp trên giúp em post những bài bất đẳng thức hay và khó. Vì bài bất đẳng thức luôn có 1 bài trong đề thi đại học. Mong các anh chị và các bạn giúp mình nhé, mình cần biết các bài bất đẳng thức

 

[ILoveNicholasTeo]

để tớ post bài đầu tiên vậy:
Bài 1: Cm:
[TEX]\frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{8}{3}[/TEX]
nào chúng ta cùng giải nhé!

 

[quynhdihoc]

Xin lỗi Long, giờ mình sẽ post bài về BDT


1. (HVQHQT -97) chứng minh rằng với mọi x, y, z >0 , ta có :
[TEX]\sqrt{x^2 +xy+y^2}[/TEX] + [TEX]\sqrt{y^2+yz+z^2} [/TEX]+ [TEX]\sqrt{z^2 + zx +x^2 }[/TEX][TEX] \geq \sqrt{3}.(x+y+z)[/TEX]

2. (DHTL-99) CMR:
[TEX] \frac{1}{a^3+b^3 +abc} [/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^3+c^3 +abc}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{c^3+a^3+abc}[/TEX] [TEX]\leq [/TEX][TEX]\frac{1}{abc}[/TEX]


3. ( DHTN-2000) CMR với x+y+z =1 và x, y, z >0 thì
[TEX]\frac{1}{x} [/TEX]+[TEX] \frac{1}{y} [/TEX]+[TEX] \frac{1}{z} [/TEX] > [TEX]\frac{18}{xyz +2}[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 2:
Ta có [TEX]a^3+b^3 \geq ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX] hiểm nhiên đúng.

Do đó [TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{ab(a+b)+abc} = \frac{c}{abc(a+b+c)}[/TEX]

Tượng tự ta có [TEX]b^3+c^3 \geq bc(b+c)[/TEX] và [TEX]c^3+a^3 \geq ca(c+a)[/TEX] nên:

[TEX]\frac{1}{b^3+c^3+abc} \leq \frac{a}{abc(a+b+c)}[/TEX] và [TEX]\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{b}{abc(a+b+c)}[/TEX]

Cộng tương ứng vế theo vế các BĐT trên ta thu được:

[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

Bài 3: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

[TEX]VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}} [/TEX]

Lại có [TEX]\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}[/TEX]

Do đó đặt [TEX]\sqrt[3]{xyz}=t \leq \frac{1}{3}[/TEX]. Ta cần CM [TEX]\frac{3}{t} > \frac{18}{t^3+2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^3-6t+2>0[/TEX]. Đến đây dùng pp nhóm là ra.

 

[thanhhai12a2]

Bài 1: Dùng bổ đề
[tex] \sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \geq \sqrt{(a+b+c)^2 + (m+n+p)^2} [/tex]
( tự chứng minh bổ đề nha )
ta có
[tex]VT= \sqrt{(x+y/2)^2+3y^2/4}+\sqrt{(y+z/2)^2+3z^2/4}+\sqrt{(z+x/2)^2+3x^2/4} \geq \sqrt{(x+y/2+y+z/2+z+x/2)^2 + (\sqrt{3}y/2+\sqrt{3}z/2+\sqrt{3}x/2)^2}[/tex]
Hay [tex]VT \geq \sqrt{3}(x+y+z) [/tex] (dpcm)
Đúng không nhỉ :-/

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 1: Dùng bổ đề
[tex] \sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \geq \sqrt{(a+b+c)^2 + (m+n+p)^2} [/tex]
( tự chứng minh bổ đề nha )
ta có
[tex]VT= \sqrt{(x+y/2)^2+3y^2/4}+\sqrt{(y+z/2)^2+3z^2/4}+\sqrt{(z+x/2)^2+3x^2/4} \geq \sqrt{(x+y/2+y+z/2+z+x/2)^2 + (\sqrt{3}y/2+\sqrt{3}z/2+\sqrt{3}x/2)^2}[/tex]
Hay [tex]VT \geq \sqrt{3}(x+y+z) [/tex] (dpcm)
Đúng không nhỉ :-/

cái bổ đề mà anh dùng tên là bất đẳng thức mincopski
Tuy nhiên lời giải này sử dụng " đao to" quá
.............
Ta có
[TEX]\sqrt{x^2+y^2+xy} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0[/TEX] ( đúng)
xây dựng 2 bdt tương tự rồi cộng lại ta có dpcm

 

[vietba3]

1/ 1/(a^2008) + 1/b(2008) + 1/(c^2008) >= 4^2008 { 1/(2a+b+c)^2008 +
1/(a+2b+c)^2008 + 1/ ( a+b+2c)^2008 }

 

[tongath2]

1 số BDT:
1)trên Toán tuổi trẻ có bài(ngày xưa):cho n [tex]\in [/tex]Z n[tex]\ge \[tex]2 C/m:1+[tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]>[tex]\frac[n]{n}[/tex]
2)cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn có R=1.Và
[tex]\frac{sinA.sin2A+sinB.Sin2B+sinC.Sin2C}{sinA+SinB+SinC}[/tex]=[tex]\frac{2S}{3}[/tex]

 

[nothing.maths.vn]

để tớ post bài đầu tiên vậy:
Bài 1: Cm:
[TEX] \frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{3}{8}[/TEX]
nào chúng ta cùng giải nhé!

Sửa đề bài từ [TEX] \frac{8}{3}[/TEX] thành [TEX] \frac{3}{8}[/TEX] nhé

Sử dụng hệ quả của BĐT Holder , ta có :

[TEX]( \frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3})(1+1+1)(1+1+1) \geq ( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} )^3 [/TEX]

Lại có [TEX]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}[/TEX] (cái này CM dễ dàng )

[TEX]\Rightarrow \frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{3^3}{9.2^3} = \frac{3}{8} [/TEX]