Mình sưu tầm được cách giải sau:
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Ta có$$a(b-c)^{4}=a(b-c)(b-c)^{3}\leqslant ab(b-c)^{3}$$
Hoàn toàn tương tự$$b(c-a)^{4}\leq ab(a-c)^{3}$$
Kết hợp hai đánh giá trên ta có được$$a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}\leq ab\left [ (a-c)^{3}+(b-c)^{3} \right]$$$$=ab(a+b-2c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$$$\leqslant ab(a+b+c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$
Mặt khác,$$c(a-b)^{4}\leq c(a-b)^{2}\left [ (a-b)^{2}+(a-c)(b-c) \right ]=c(a-b)^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$$$\leqslant c(a+b)(a+b+c)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$
Từ đó với chú ý $a+b+c=1$ suy ra$$a(b-c)^{4}+b(c-a)^{4}+c(a-b)^{4}\leq (ab+bc+ca)\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )$$$$=\frac{1}{12}.4(3ab+3bc+3ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\leq \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )^{2}=\frac{1}{12}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$(a,b,c)\sim \left ( \frac{3-\sqrt{3}}{6},\frac{3+\sqrt{3}}{6},0 \right )$$Mời các bạn cùng thử sức với bài toán tổng quát khó sau.
Tổng quát (Phạm Văn Thuận). Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Với mỗi số tự nhiên $n$, hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức$$P(a,b,c)=a(b-c)^{n}+b(c-a)^{n}+c(a-b)^{n}$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn