[Toán 10]c/m bdt

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z \geq 0,$x^2+y^2+z^2$=1.c/m
$\dfrac{x}{1-yz}+\dfrac{y}{1-zx}+\dfrac{z}{1-xy}$\geq1

 

[kisihoangtoc]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$xy+yz+zx$\leq$x^2+y^2+z^2$=1
Mặt khác, ta có:$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$\leq$3$
\Rightarrow$x+y+z$\leq$\sqrt{3}$
$\frac{x}{1-yz}$\geq$\frac{x}{xy+yz+zx-yz}=\frac{x}{xy+xz}=\frac{1}{y+z}$

Tương tự: $\frac{y}{zx}$\geq$\frac{1}{z+x}$ và $\frac{z}{1-xy}$\geq$\frac{1}{x+y}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$
\geq$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$
\geq$\frac{9}{2(x+y+z)}$
\geq$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

[hien_vuthithanh]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$xy+yz+zx$\leq$x^2+y^2+z^2$=1
Mặt khác, ta có:$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$\leq$3$
\Rightarrow$x+y+z$\leq$\sqrt{3}$
$\frac{x}{1-yz}$\geq$\frac{x}{xy+yz+zx-yz}=\frac{x}{xy+xz}=\frac{1}{y+z}$

Tương tự: $\frac{y}{zx}$\geq$\frac{1}{z+x}$ và $\frac{z}{1-xy}$\geq$\frac{1}{x+y}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$
\geq$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$
\geq$\frac{9}{2(x+y+z)}$
\geq$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

chỗ màu đỏ ấy chưa đúng rồi bạn ơi,phải là \leq
nhưng dù sao cũng cảm ơn bạn đã giúp

 

[viethoang1999]

Phức tạp hóa vấn đề rồi

Đơn giản như này:

Ta sẽ c/m: $\dfrac{x}{1-yz}\ge x$
\Leftrightarrow $xyz\ge 0$ (luôn đúng)
Tương tự cộng lại ta có:
$VT\ge x+y+z$ (1)
Từ giả thiết suy ra $0\le x;y;z\le 1$
\Rightarrow $x(1-x)\ge 0$
\Leftrightarrow $x\ge x^2$
Tương tự cộng lại ta có:
$x+y+z\ge x^2+y^2+z^2=1$ (2)
Từ (1);(2) suy ra $VT\ge 1$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

Bài dự thi event box toán 10

 

[forum_]

BTC:

Đúng, +5đ

===================================================