[toán 10] bpt

[phongkg196]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 /cho x,y>0 thỏa [tex] x^2+y^2+xy=1[/tex]
tìm GTNN [tex] A= x^2-xy+y^2[/tex]

2/cho x,y,z,t thuộc R
thỏa [tex] \left{x+y+z+t=0}\\{x^2+y^2+z^2+t^2=1} [/tex]
cm [tex]\frac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \leq \frac{1}{4} [/tex]

3/ cho x,y,z [tex] \varepsilon R [/tex] thỏa [tex] x^2+y^2+z^2=1 [/tex]
tim GTLN [tex] P= x^3+y^3+z^3-3xyz [/tex]

@asroma: bài 2 đúng đề không đấy?

chú ý tiêu đề : [ toán 10] + tiêu đề

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 1:
[TEX]\Large A = \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+y^2+xy}\\ = \frac{(\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}+1}{(\frac{x}{y})^2+\frac{x}{y}+1} = \frac{u^2-u+1}{u^2+u+1}\ with\ u=\frac{x}{y} \\ \Leftrightarrow (A-1)u^2+(A+1)u+A-1=0\\ Xet A=1 \Rightarrow u =0 \Rightarrow x= 0(vo\ ly)\\ A \neq 1, PTCN \Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow (A+1)^2-4(A-1)^2 \geq 0\\ \Leftrightarrow 3A^2-10A+3 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq A \leq 3\\ Vay\ min\ A\ =\frac{1}{3} \Leftrightarrow u=1 \Leftrightarrow x=y>0[/TEX]

 

[asroma11235]

3/ cho x,y,z [tex] \varepsilon R [/tex] thỏa [tex] x^2+y^2+z^2=1 [/tex]
tim GTLN [tex] P= x^3+y^3+z^3-3xyz [/tex]

3/
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
[TEX](x^3+y^3+z^3-3xyz)^2=[x(x^2-yz)+ y(y^2-xz)+ z(z^2-xy)]^2 \leq (x^2+y^2+z^2)[(y^2-xz)^2+(x^2-yz)^2+ (z^2-xy)^2][/TEX]
Mặt khác: [TEX](y^2-xz)^2+(x^2-yz)^2+ (z^2-xy)^2 = (x^2+y^2+z^2)^2-(xy+yz+zx)^2 \leq (x^2+y^2+z^2)^2=1[/TEX]
Suy ra: [TEX] -1 \leq x^3+y^3+z^3-3xyz \leq 1 [/TEX]