[Toán 10] Bosjeunhan vs Son9701

B

bosjeunhan

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Thứ 5 ngày 14 tháng 2 năm 2013....(Tức là ngày mồng 5 tết :)))

Nhìn lại mới thấy hôm ni là một ngày đặc biết

Viết pic đầu này thì đang lúc mong ngóng MU vs REAL

Cứ xem như mình là MU, còn REAL là bạn ni nhé Son9701

Mình muốn thử sức một lần với người anh em...Dù biết chắc là thua nhưng vẫn rất háo hức ^^

Mong các bạn bè, anh em, cô bác gừn xa, ko nên vào spam nhé. Chỉ có hai chúng tôi thôi :)
 
Last edited by a moderator:
B

bosjeunhan

Câu bất đẳng thức

Đây là chiêu đầu tiên nhé ^^

Tui nghĩ nó chẳng khó khăn gì với ông đâu...mặc dầu rất khó với tui :">

Rất vui khi đánh sai đề ở topic kia =))

Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm điều kiện của k cho bất đẳng thức sau đúng
$$ \sqrt{a^2+kb}+\sqrt{b^2+kc}+\sqrt{c^2+ka}\ge 3\sqrt{k+1} $$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
B

bosjeunhan

Câu phương trình

Sáng ra mà chưa thấy ông onl...hơi =(( (Tại hôm ni tui thức koi mu vs real rứa là ko ngủ luôn mà :)))
P/s: Chờ ông lên ms ra câu cuối :)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình (p là số nguyên tố)
$5^p + 12^p = k^p$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
S

son9701

Ra đề trước,ngồi mân sau :v

Bài 1:

Cho a;b;c >0 thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTNN:

$$ \sum \frac{(a\sqrt{a}+1)^2}{a^3-6a^2+9a+4abc-a^2bc} $$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

(hự,bài này chế xong thấy dễ quá,hic )

Bài 2:
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O). K di động trên đường thẳng Euler tam giác.AK cắt (O) ở A';BK cắt (O) ở B'; CK cắt (O) ở C'. Giả sử tiếp tuyến tại A và A' gặp nhau ở M; tiếp tuyến tại B và B' gặp nhau ở N; tiếp tuyến tại C và C' gặp nhau ở P.CMR MN có phương không đổi từ đó suy ra M;N;P thẳng hàng
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

(Bài này chế nên chả biết kết luận còn cách ghi nào thú vị hơn k :( )

P/s : Chơi xấu quá ông bạn ơi,tui cũng thích MU mà :v
 
Last edited by a moderator:
B

bosjeunhan

Câu hình học phẳng

Cho $\Delta ABC$ có $AB=c, BC=a, AC=b$ và I là tâm đường tròn nội tiếp. Hai điểm $B', C'$ lần lượt nằm trên $AB, AC$ sao cho $B', C', I$ thẳng hàng. Chứng minh rằng:
$$ S_{ABC} \le \dfrac{a+b+c}{2\sqrt{bc}}.\sqrt{S_{AB'C}.S_{ABC'}} $$

Mang đậm nét hình học phẳng nhé :))
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: kido2006
S

son9701

Cho thắc mắc cái :D bài phương trình nghiệm nguyên có lấy p là số nguyên tố không vậy ???

Nếu là số nguyên tố thì,thì.... chém luôn :D :

Nếu p=2 thì k = 13

Nếu p > 2 thì p lẻ suy ra :

$$ 12^p + 5^p = (12+5)(12^{p-1}+5^{p-1}-12.5(12^{p-3}+5^{p-3}+....+(-1.5.12)^{\frac{p-1}{2}}) \equiv 17.(12^{p-1}+5^{p-1}+ (-5.12)^{\frac{p-1}{2}} (mod 17^2) $$

Nếu p = 4n + 1 thì : $ \frac{p-1}{2} $ chẵn hay:

$$ 12^p + 5^p \equiv 17.[(12^{\frac{p-1}{2}}-5^{\frac{p-1}{2}})^2+3.(12.5)^{\frac{p-1}{2}}] \equiv 17.3.60^{\frac{p-1}{2}} (mod 17^2) $$ (1)

Nếu p = 4n + 3 thì : $ \frac{p-1}{2} $ lẻ hay:

$$ 12^p + 5^p \equiv 17.[(12^{\frac{p-1}{2}}+5^{\frac{p-1}{2}})^2-3.(12.5)^{\frac{p-1}{2}}] \equiv -17.3.60^{\frac{p-1}{2}} (mod 17^2) $$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra Vế Trái chia hết cho 17 nhưng k chia hết cho 249 vậy pt vô nghiệm (vì VP là 1 lũy thừa bậc > 2)

Tóm lại ,pt có nghiệm p=2 và k =13
 
B

bosjeunhan

Nhâu bất đẳng thức trước...hì hì

Theo bất đẳng thức C_S ta có:
$$BT \ge \dfrac{(\sum a\sqrt{a} +3)^2}{a^3+b^3+c^3-6.(a^2+b^2+c^2)+9(a+b+c)+12abc-(a+b+c)abc} = \dfrac{(\sum a\sqrt{a} +3)^2}{\sum a(b+c)^2 + 9abc} $$

Lại có, theo bất đẳng thức Holder
$3.(\sum a\sqrt{a})^2 \ge (a+b+c)^3$
$\Leftrightarrow \sum a.\sqrt{a} \ge 3$

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM_GM, ta có:
$2a+b+c+b+c \ge 2\sqrt{2a(b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \ge a.(b+c)^2$

$a+b+c \ge 3.\sqrt[3]{abc}$
$\Leftrightarrow 1 \ge abc$

Vậy $BT \ge \dfrac{12}{7}$
Dấu "=" có khi và chỉ khi $a=b=c=1$
 
Last edited by a moderator:
S

son9701

Bài 1: Cho a;b;c không âm thỏa mãn a+b+c=3.Tìm k để :

$$ \sqrt{a^2+kb}+\sqrt{b^2+kc}+\sqrt{c^2+ka} \geq 3\sqrt{k+1} $$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trước hết ta thay a=b=0;c=3 thì bất đẳng thức đã cho đúng khi $$ 0 \leq k \leq 1 $$

Ta sẽ cmr với mọi k trong [0;1] bất đẳng thức đúng

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$$\sum \sqrt{a^2+kb} \geq \sum \frac{a+kb}{\sqrt{1+kb}} = (\sum \frac{a+kb}{\sqrt{(1+kb)(1+k)}}).\sqrt{1+k} \geq (\sum \frac{2(a+kb)}{kb+k+2}).\sqrt{k+1} $$

Vì thế ta chỉ cần cminh rằng :

$$ \sum \frac{a+kb}{kb+k+2} \geq \frac{3}{2} (1) $$ mọi k trong [0;1]


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz :

$$ LHS(1) = \sum \frac{(a+kb)^2}{(a+kb)(kb+k+2)} \geq \frac{9(k+1)^2}{k^2(a^2+b^2+c^2+3)+k(ab+bc+ca+9)+6} = A $$

Ta chỉ cần chỉ ra rằng

$$ A \geq \frac{3}{2} $$

Thật vậy,xét hiệu ta được bất đẳng thức tương đương là $$ (k-k^2)[\sum (a-b)^2 ] \geq 0 $$ (đúng mọi k trong [0;1])
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: kido2006
B

bosjeunhan

Hăng hái nhỉ ;))

Nhưng mà ko tính đâu đấy...Đến 8h là hết hạn mà :))

Chỉ xin được có vài giây ngắn ngủ =(( Ko đủ thời gian để nói cấy chj cả :((

Cái ni ko pải giải...
 

Attachments

  • MO2011_PTHPT1_Lu.doc
    415.5 KB · Đọc: 0
S

son9701

@bosjeunhan : hòa mà,cơ mà đánh giải đi cho tui biết giải mấy bài của ông :p
...........................................................................
 
Last edited by a moderator:
B

bosjeunhan

son9701 said:
Trước hết ta thay a=b=0;c=3 thì bất đẳng thức đã cho đúng khi $$ 0 \leq k \leq 1 $$

Ta sẽ cmr với mọi k trong [0;1] bất đẳng thức đúng

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$$\sum \sqrt{a^2+kb} \geq \sum \frac{a+kb}{\sqrt{1+kb}} = (\sum \frac{a+kb}{\sqrt{(1+kb)(1+k)}}).\sqrt{1+k} \geq (\sum \frac{2(a+kb)}{kb+k+2}).\sqrt{k+1} $$

Vì thế ta chỉ cần cminh rằng :

$$ \sum \frac{a+kb}{kb+k+2} \geq \frac{3}{2} (1) $$ mọi k trong [0;1]


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz :

$$ LHS(1) = \sum \frac{(a+kb)^2}{(a+kb)(kb+k+2)} \geq \frac{9(k+1)^2}{k^2(a^2+b^2+c^2+3)+k(ab+bc+ca+9)+6} = A $$

Ta chỉ cần chỉ ra rằng

$$ A \geq \frac{3}{2} $$

Thật vậy,xét hiệu ta được bất đẳng thức tương đương là $$ (k-k^2)[\sum (a-b)^2 ] \geq 0 $$ (đúng mọi k trong [0;1])
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hôm qua chưa nhìn nhé :))

Bài ni pải $3 \ge k \ge 0$ mừ :)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom