[Toán 10] BDT

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau. Tìm GTNN của:
$$ (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left [ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2} \right ] $$

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ đối một khác nhau. Tìm GTNN của:
$$ (ab+bc+ca)\left [ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2} \right] $$

Bài 3: Cho các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt. Tìm GTNN của:
$$\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-2bc}+\dfrac{c^2+a^2}{c^2+a^2-2ca}$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau. Tìm GTNN của:
$$ (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left [ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2} \right ] $$

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ đối một khác nhau. Tìm GTNN của:
$$ (ab+bc+ca)\left [ \dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2} \right] $$

Bài 3: Cho các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt. Tìm GTNN của:
$$\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2-2bc}+\dfrac{c^2+a^2}{c^2+a^2-2ca}$$

Bài 1: Phương pháp dồn biến toàn miền.

Giả sử $a =\text{min{a;b;c}}$

Khi thay $(a;b;c)=(0;b-a;c-a)$ thì biểu thức không đổi.

Đặt $b-a=x; c-a=y$ và $t=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1 > 1 $(Do $b\ne c \to x \ne y$)

Biểu thức trên trở thành:
$$ (x^2+y^2-xy)\left (\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2-3=2xy} \right)$$
$$ = \dfrac{t^3}{t-1}=\dfrac{(2t-3)^2(t+3)}{4(t-1)}+\dfrac{27}{4} \ge \dfrac{27}{4} $$

Bài 2: Cũng tương tự bài 1:

$a=\text{min{a;b;c}}, b-a=x;c-a=y; t=t=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2 > 0$

Biểu thức trở thành $xy\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2-2xy} \right ) =\dfrac{t^2+2t+1}{t}=\dfrac{(t-1)^2}{t}+4 \ge 4$

Bài 3:

$\sum \dfrac{2(a^2+b^2)}{2(a-b)^2}=\sum \left [\dfrac{(a+b)^2}{2(a-b)^2}+\dfrac{1}{2} \right ]$

Đặt $(x;y;z)=\left (\dfrac{a+b}{a-b}; \dfrac{b+c}{b-c}; \dfrac{c+a}{c-a}\right) \to xy+yz+zx =-1$

Biểu thức trở thành: $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}+\dfrac{3}{2}$

Ta có $x^2+y^2+z^2 \ge -2(xy+yz+zx)=2 \to \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}+\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{5}{2}$