[Toán 10] BĐT

[longbien97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bai 1 cho x,y,z>0 va thoa man xyz=1
tim Max
[TEX]P=\frac{1}{2x^2+y^2+3}+\frac{1}{2y^2+z^2+3}+\frac{1}{2z^2+x^2+3}[/TEX]
bai 2 cho x,y,z>0 va thoa man
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
[TEX]CM:\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq\frac{a+b+c}{4}[/TEX]

 

[vy000]

Bài 2:

Ta có: $\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^2}{a+bc(\dfrac 1a+\dfrac1b+\dfrac1c)}=\dfrac{a^2}{a+b+c+\dfrac{bc}a}$

Có: $\dfrac{a^2}{a+bc}-\dfrac{a^2}{a+b+2c}=\dfrac{a^2}{a+b+c+\dfrac{bc}a}-\dfrac{a^2}{a+b+2c}=\dfrac{a^2(c-\dfrac{bc}a)}{(a+b+2c)(a+b+c+\dfrac{bc}a)}=\dfrac{ac(a-b)}{(a+b+2c)(a+b+c+\dfrac{bc}a)}$

Tương tự: $\dfrac{b^2}{b+ca}-\dfrac{b^2}{a+b+2c}=\dfrac{bc(b-a)}{(a+b+2c)(a+b+c+\dfrac{ac}b)}$

Xét hiệu: $\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}-\dfrac{a^2}{a+b+2c}-\dfrac{b^2}{a+b+2c} \\ =\dfrac{ac(a-b)}{(a+b+2c)(a+b+c+\dfrac{bc}a)}+\dfrac{bc(b-a)}{(a+b+2c)(a+b+c+\dfrac{ac}b)} \\ =\dfrac{c(a-b)}{a+b+2c}\Big(\dfrac a{a+b+c+\dfrac{bc}a}-\dfrac b{a+b+c+\dfrac{ac}b}\Big) \\ =\dfrac{c(a-b)}{a+b+2c}\dfrac{a^2+ab+ac+\dfrac{a^2c}b-ab-b^2-bc-\dfrac{b^2c}a}{(a+b+c+\dfrac{bc}a)(a+b+c+\dfrac{ca}b)} \\ =\dfrac{c(a-b)}{a+b+2c}\dfrac{ (a^2-b^2)+(ac-bc)+(\dfrac{a^2c}b-\dfrac{b^2c}a)}{(a+b+c+\dfrac{bc}a)(a+b+c+\dfrac{ca}b)} \\ =\dfrac{c(a-b)}{a+b+2c}\dfrac{(a-b)(a+b+c+\dfrac{a(a^2+ab+b^2)}{ab}}{(a+b+c+\dfrac{bc}a)(a+b+c+\dfrac{ca}b)} \ge 0$


\Leftrightarrow $\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca} \ge \dfrac{a^2}{a+b+2c}+\dfrac{b^2}{a+b+2c}$

CMtt: $\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ab} \ge \dfrac{b^2}{2a+b+c}+\dfrac{c^2}{2a+b+c} \\ \dfrac{c^2}{c+ab}+\dfrac{a^2}{a+bc} \ge \dfrac{c^2}{a+2b+c}+\dfrac{a^2}{a+2b+c}$


Cộng vế với vế là xong @@

 

[longbien97]

Cach ban hay nhưng kho hieu qua ban con cách nao khác ko

 

[vy000]

Hiện tại thì chưa TT, đang ăn con kia TT .
Tư tưởng chung của Bài 2 là: Thay $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=1$ để giảm bậc của ab,bc,ca của mẫu xuống thành bậc 1,sau đó sử dụng pp dồn biến là ra

 

[vy000]

Bài 1: Cách làm rất đơn giản :| , chả hiểu sao mất nhiều time vậy (

Đặt $x^2=\dfrac ab ; y^2 =\dfrac bc ; z^2=\dfrac ca$ với $a,b,c>0$

$P=\sum\dfrac1{2\dfrac ab+\dfrac bc + 3} \\ =\sum\dfrac{bc}{2ac+b^2+3 bc} \\ =\sum\dfrac{bc}{(ac+b^2)+(ac+bc)+2bc} \\ \le \sum\dfrac{bc}{2\sqrt{ab.bc}+2\sqrt{ac.bc}+2bc} \\ =\sum\dfrac{\sqrt{bc}}{2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2 \sqrt{bc}}=\dfrac12$

 

[vodichhocmai]

bai 1 cho x,y,z>0 va thoa man xyz=1
tim Max
[TEX]P=\frac{1}{2x^2+y^2+3}+\frac{1}{2y^2+z^2+3}+\frac{1}{2z^2+x^2+3}[/TEX]
bai 2 cho x,y,z>0 va thoa man
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
[TEX]CM:\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq\frac{a+b+c}{4}[/TEX]

[TEX] \fbox{P:=\frac{1}{2x^2+y^2+3}+\frac{1}{2y^2+z^2+3}+\frac{1}{2z^2+x^2+3} \le \frac{1}{2(x+xy+1)}+\frac{1}{2(y+yz+1)}+\frac{1}{2(z+zx+1)}= \frac{1}{2} }[/TEX]

[TEX]\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}=\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+ \frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\ge \frac{a+b+c}{4} [/TEX]

Bởi vì ( tương tự ) [TEX] \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8} \ge \frac{3}{2}a[/TEX]

 

[longbien97]

bai 1 kho hieu qua co ai biet chi tiet thi noi ra giup minh voi thanks

 

[vy000]

$2x^2+y^2+3= (x^2+y^2)+(x^2+1)+2 \ge 2xy+2x+2 = 2(x+xy+1)$

$\dfrac1{2x^2+y^2+3} \le \dfrac1{2(x+xy+1)}$

Cmtt,ta có $P \le \dfrac12(\dfrac1{x+xy+1}+\dfrac1{y+yz+1}+\dfrac1{z+zx+1})$

Cho xyz=1;chứng minh $\dfrac1{x+xy+1}+\dfrac1{y+yz+1}+\dfrac1{z+zx+1}=1$ ; 1 bài toán lớp 8 quen thuộc và khá nhiều ứng dụng ^^