c/m :
[TEX]\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{c+b}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}}\leq 3[/TEX]
( a, b, c >0 )
Bài này đã xuất hiện trong topic ở lớp 12
[TEX]\begin{array}{l}bdt \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + z} }} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }} \\ x = \frac{{b^2 }}{{a^2 }};y = \frac{{c^2 }}{{b^2 }};z = \frac{{a^2 }}{{c^2 }} \end{array}[/TEX] với xyz=1
Ko mất tính tq giả sử z=max{x;y;z} suy ra xy<=1
Bổ đề với xy<=1 và x,y, không âm ta có
[TEX]\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} \le \frac{2}{{\sqrt {1 + xy} }} \\ VT^2 \le 2\left( {\frac{1}{{1 + x^2 }} + \frac{1}{{1 + y^2 }}} \right) \le \frac{4}{{1 + xy}} \\ \end{array}[/TEX]
bđt cuối chứng minh bằng biến đổi tương đương
Do đó ta có
[TEX]\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + z} }} \le \frac{2}{{\sqrt {1 + \sqrt {xy} } }} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {1 + xy} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + t} }} + \frac{t}{{\sqrt {1 + t^2 } }} = f\left( t \right),t = \sqrt {xy} \le 1[/TEX]
Bât đẳng thức cuối chứng minh bằng biến đổi tương đương chẳng hạn
[TEX]\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {1 + t^2 } + t\sqrt {1 + t} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}\sqrt {1 + t^2 } \sqrt {1 + t} \\ \Leftrightarrow 4\left( {1 + t^2 } \right) + t^2 \left( {1 + t} \right) + 4t\sqrt {1 + t^2 } \sqrt {1 + t} \le \frac{9}{2}\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t} \right) \\ VT \le 4\left( {1 + t^2 } \right) + t^2 \left( {1 + t} \right) + 2t\left( {1 + t^2+1+t } \right) \le \frac{9}{2}\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t} \right) \\\frac{1}{2}\left( {t - 1} \right)^2 \left( {3t + 1} \right) \ge 0 \end{array}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn