[Toán 10] BĐT

[hoanggu95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c thuộc [1;2]:
Tìm max của [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c thuộc [TEX][1;2] [/TEX]:
Tìm max của [TEX]M:=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

[TEX]M=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!)[/TEX]

[TEX]gs:\ \ a\ge b\ge c\ \ \to 1\le \frac{a}{c}\le 2[/TEX]

Ta có :

[TEX](a-b)(b-c)\ge 0\righ ab+bc\ge b^2+ac[/TEX]

[TEX]\rightarrow \left{\frac{a}{c}+1\ge \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\\1+\frac{c}{a}\ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!!)[/TEX]

[TEX](!)&(!!)\to M\le 5+2\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\)[/TEX]

Xét hàm số :

[TEX]y=x+\frac{1}{x}\ \ \ \ \ \ 1\le x\le 2[/TEX]

[TEX]\ \ y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\ge 0 \ \ \forall x\ \ 1\le x\le 2[/TEX]

[TEX]\to x+\frac{1}{x}\le \frac{5}{2}[/TEX]

[TEX]\to M\le 10[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi :

[TEX]\left{a=b=2\\c=1\\Cyclic[/TEX]