[Toán 10]BDT

[destinyx4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho[TEX] a,b,c>0,\ \ a+b+c=1[/TEX]

[TEX]CMR:\ \ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge \frac{3\sqrt{3}\(1+ab+bc+ca\)}{2\sqrt{2}[/TEX]

Lần sau không được nói đích tên anh nhé. Không anh cho đi bụi đó

 

[vodichhocmai]

Cho[TEX] a,b,c>0,\ \ a+b+c=1[/TEX]

[TEX]CMR:A=\ \ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge \frac{3\sqrt{3}\(1+ab+bc+ca\)}{2\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]B:=\sum_{cyc}\(a+b\)^2=2\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\) =2\[1-\(ab+bc+ca\)\][/TEX]

[TEX]A^2.B= \(\sum_{cyc} \frac{a+b}{\sqrt{a+b}}\)^2\sum_{cyc}\(a+b\)^2 \ge 8\(a+b+c\)^3[/TEX]

Do đó chúng ta cần chứng minh :

[TEX]8\ge \[1-\(ab+bc+ca\)\].\frac{27\(1+ab+bc+ca\)^2}{4}[/TEX]

[TEX]\righ f\(x\):=\frac{\(1-x\)\(1+x\)^2}{4} \le \frac{8}{27}\ \ \ \ \ \ \ 0<x=ab+bc+ca\le \frac{1}{3}[/TEX]

[TEX] \(1-x\)\frac{\(1+x\)}{2}\frac{\(1+x\)}{2}\le \(\frac{\(1-x\)+\frac{1+x}{2}+\frac{1+x}{2}}{3}\)^3=\frac{8}{27}[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]