[toán 10] BĐT

[thienthanlove20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc

Chứng minh:

[TEX]\frac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \sqrt{3}[/TEX]

p/s: Chứng minh theo 3 cách: dùngCoosssi, Bunhia và Vecto

Câu 2: Cho x, y > 0 và [TEX]\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 6[/TEX]

Chứng minh: [TEX]x + y \geq \frac{(\sqrt{} + \sqrt{3})^2}{6}[/TEX]

Câu 3: Cho x, y, z > 0 và [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/TEX]

Tìm GTNN của:

[TEX]S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}[/TEX]

Câu 4: Cho x, y, z > 0; x + y + z = 1. Tìm GTLN của:

[TEX]P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1}[/TEX]

p/s: Dùng 2 BĐT : Côsi và Bunhia

Câu 5: Cho x, y, z > 0; xyz = 1/ Tìm GTNN của:

[TEX]P = \frac{x^2(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^2 (z + x)}{z\sqrt{z}+ 2x\sqrt{x}} + \frac{z^2(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}[/TEX]

 

[0915549009]

Câu 1: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc

Chứng minh:

[TEX]\frac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \sqrt{3}[/TEX]

Câu 3: Cho x, y, z > 0 và [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/TEX]

Tìm GTNN của:

[TEX]S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}[/TEX]

Câu 4: Cho x, y, z > 0; x + y + z = 1. Tìm GTLN của:

[TEX]P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1}[/TEX]

p/s: Dùng 2 BĐT : Côsi và Bunhia

[TEX]1)\sum \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab} = \sum \frac{\sqrt{3(2a^2+b^2)}}{\sqrt{3}ab} \geq \sum \frac{2a+b}{\sqrt{3}ab} = \sum \frac{2ac+bc}{\sqrt{3}abc}=\frac{3\sum ab}{\sqrt{3}abc} = \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]3)\sum \frac{xy}{z} \geq \sqrt{3\sum (\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x})} = sqrt{3}(\sum x^2)=\sqrt{3}[/TEX]
[TEX]4) \frac{x}{x+1} +\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}= 1 - \frac{1}{x+1} +1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}= 3-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}) \leq 3-\frac{9}{x+y+z+3} = \frac{3}{2}[/TEX]

Bạn cứ hiểu [TEX]\sum ab=ab+bc+ca;\sum \frac{2a+b}{\sqrt{3}ab} = \frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}+ \frac{2b+c}{\sqrt{3}bc}+\frac{2c+a}{\sqrt{3}ca}[/TEX]
Cái kí hiệu đó nghĩa là tổng hoán vị, khi các biến có vai trò bình đẳng nhau

 

[nhockthongay_girlkute]

Câu 5: Cho x, y, z > 0; xyz = 1/ Tìm GTNN của:

[TEX]P = \frac{x^2(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^2 (z + x)}{z\sqrt{z}+ 2x\sqrt{x}} + \frac{z^2(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}[/TEX]

[TEX]P\geq \sum_{cyc}\frac{x^2.2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum_{cyc}\frac{2x\sqrt{x}\sqrt{xyz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq \sum_{cyc}\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}} (\text{vi xyz=1})[/TEX]
[TEX]\text{dat }\left{\begin{a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\\{b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}\\{c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\Rightarrow \left{x\sqrt{x}=\frac{1}{9}(-2a+4b+c)\\{y\sqrt{y}=...\\{z\sqrt{z}=...[/TEX]
[TEX]\text{khi do }P\geq \frac29(\sum_{cyc}\frac{-2a+4b+c}{a})\geq \frac29(-6+4[\sum\frac{b}{a}]+\sum\frac{a}{b})\geq \frac29(-6+4.3+3)=2[/TEX]

 

[0915549009]

Câu 2: Cho x, y > 0 và [TEX]\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 6[/TEX]

Chứng minh: [TEX]x + y \geq \frac{(\sqrt{} + \sqrt{3})^2}{6}[/TEX]

[TEX]\frac{2}{x}+\frac{3}{y} \geq \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{x+y} \Rightarrow x+y \geq \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{6}[/TEX]
Cái đề đánh hơi thiếu thì phải :-??