[toán 10] BĐT

[thienthanlove20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Chứng minh [TEX]\forall a, b, c, d[/TEX]. Ta có:

a) [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq (a + b)(c + d)[/TEX]

b) [TEX](a + b)^2 + (b + c)^2 \geq 4abc(a + b + c)[/TEX]

Câu 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

a) [TEX] \frac{a+ b}{a^2 + b^2} + \frac{b + c}{b^2 + c^2} + \frac{c + a}{c^2 + a^2} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/TEX]

b) [TEX]\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{c + a} \leq \frac{a + b + c}{2}[/TEX]

Câu 3: Cho x # 0, y# 0. Thỏa mãn : [TEX](x + y)xy = x^2 + y^2 - xy[/TEX]

Tìm GTLN của biểu thức:

[TEX]A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Câu 1: Chứng minh [TEX]\forall a, b, c, d[/TEX]. Ta có:

a) [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq (a + b)(c + d)[/TEX]

b) [TEX](a + b)^2 + (b + c)^2 \geq 4abc(a + b + c)[/TEX]

Câu 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

a) [TEX] \frac{a+ b}{a^2 + b^2} + \frac{b + c}{b^2 + c^2} + \frac{c + a}{c^2 + a^2} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/TEX]

b) [TEX]\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{c + a} \leq \frac{a + b + c}{2}[/TEX]

Câu 3: Cho x # 0, y# 0. Thỏa mãn : [TEX](x + y)xy = x^2 + y^2 - xy[/TEX]

Tìm GTLN của biểu thức:

[TEX]A = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX]

3, [TEX]xy(x+y)=x^2+y^2-xy=\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2\ge\ \frac{1}{4}(x+y)^2>0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]0<\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)}\leq 4[/TEX]
\Rightarrow[TEX]0<\frac{x+y}{xy}\leq4[/TEX]
\Rightarrow[TEX](\frac{x+y}{xy})^2\leq 16[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=(\frac{x+y}{xy})^2\leq16 [/TEX]

 

[maiminhtien]

1a, Áp dụng bdt co si có
a^2+c^2>=2ac
a^2+d^2>=2ad
b^2+c^2>=2bc
b^2+d^2>=2bd
cộng lại có 2(a^2+b^2+c^2+d^2>=2(ac+ad+bc+bd)=>a^2+b^2+c^2+d^2>=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)(đpcm)

 

[01263812493]

Câu 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

a) [TEX] \frac{a+ b}{a^2 + b^2} + \frac{b + c}{b^2 + c^2} + \frac{c + a}{c^2 + a^2} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/TEX]

b) [TEX]\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{c + a} \leq \frac{a + b + c}{2}[/TEX]

2. a)
[TEX]\huge \frac{a+b}{a^2+b^2} \leq \frac{a+b}{\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{2}{a+b}[/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow \sum \frac{a+b}{a^2+b^2} \leq 2(\sum \frac{1}{a+b}) \leq 2[\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{a} + \sum \frac{1}{a})=\sum \frac{1}{a} \Rightarrow dpcm[/TEX]

b)[TEX]\huge \sum \frac{ab}{a+b} \leq \sum \frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}[/TEX]