[Toán 10] BDT

[hoanggu95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ai làm bài BĐT này đi!!!!!!!

với a+b\geq0 và n thuộc N

 

[dandoh221]

Bạn nên gõ TEX.Ảnh bị lỗi, tớ lấy link ảnh. Đây là đề :
Cho a+b \geq 0
CMR : [TEX]{(\frac{a+b}{2})}^{n}\leq \frac{{a}^{n}+{b}^{n}}{2}[/TEX]
Ko thể dùng Holder vì các số hạng không dương nhưng có thể dùng Chebyshev

 

[heyday195]

Áp dụng (a^m + b^m)(a^n + b^n)\leq 2(a^(m+n) + b^(m+n) )

 

[tuyn]

theo mình nghĩ dùng phương pháp quy nạp là đơn giản và dễ nhất vi những BDT kia ít được dùng nên ít người biết vận dụng

 

[hoanggu95]

các bạn chỉ nói thế,hãy CM rõ ràng cách các bạn nói xem
-----------------------------HG------------------------------------

 

[vivietnam]

Cho a+b 0

CMR : [TEX]{(\frac{a+b}{2})}^{n}\leq \frac{{a}^{n}+{b}^{n}}{2}[/TEX]

vơi n=1 đúng
với n>1
xét hàm số [TEX]f( x)=x^n[/TEX]
có [TEX]f'=n.x^{n-1} ;f''=n.(n-1).x^{n-2}>0[/TEX] (n>1)
\Rightarrow f(x) là hàm lồi với x>0
theo jensen
\Rightarrow [TEX] \frac{f(a)}{2}+\frac{f(b)}{2} \geq f(\frac{a+b}{2})[/TEX]
hay [TEX] \frac{a^n+b^n}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^n[/TEX]

 

[tuyn]

+với n=1.hiển nhiên BDT đúng
+giả sử BDT đúng với n tức là [TEX]\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n[/TEX]
Ta cm đúng với n+1 tức là [TEX]\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n+1}[/TEX]
Thật vậy ta có: [TEX]\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}-\frac{a+b}{2}.\frac{a^n+b^n}{2}=\frac{2a^{n+1}+2b^{n+1}-(a+b)(a^n+b^n)}{4}=\frac{a^{n+1}+b^{n+1}-ab^n-a^nb}{4}=\frac{(a-b)(a^n-b^n)}{4} \geq 0[/TEX] \Rightarrow [TEX]\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \geq \frac{a+b}{2}.\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n+1}[/TEX]

 

[thanhhungsuper]

theo to nen chon n chan hoac le
dat n=2k va n=2k+1 chac ra