Toán [Toán 10] BĐT nâng cao và tìm GTNN

[DieuGigi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình mấy bài này với

 

[Ann Lee]

giúp mình mấy bài này vớiView attachment 41232

BĐT phụ (*): [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> ad=bc
Chứng minh bằng hương pháp biến đổi tương đương
a, Áp dụng BĐT phụ (*): [tex]\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}\geq \sqrt{(1+1)^{2}+(a+b)^{2}}=\sqrt{5}[/tex] (đpcm)
b, BĐT phụ cho bài này : [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] chứng minh bằng biến đổi tương đương
Dùng BĐT phụ (*):
$P\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}}$
$\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(\frac{4}{a+b})^{2}}=\sqrt{(a+b)^{2}+\frac{16}{(a+b)^{2}}}$
$\geq \sqrt{2\sqrt{(a+b)^{2}.\frac{16}{(a+b)^{2}}}}=2\sqrt{2}$ (BĐT Cauchy)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
c, BĐT phụ cho bài này: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex] chứng minh bằng BĐT Bunyakovsky hoặc Cauchy cũng được
Dùng BĐT phụ (*):
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}$
$\geq \sqrt{(x+y)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{9}{x+y+z})^{2}}=\sqrt{1^{2}+9^{2}}= \sqrt{82}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3
d, Dùng BĐT phụ (*)
$P\geq \sqrt{(\sqrt{223}+\sqrt{223})^{2}+(x+y)^{2}}+\sqrt{223+z^{2}}$
$\geq \sqrt{(\sqrt{223}+\sqrt{223}+\sqrt{223})^{2}+(x+y+z)^{2}}$
$=...$ thay x+y+z = căn 3 vào, số xấu quá :>
Dấu "=" xảy ra<=. ... bạn tự tìm nốt nhé :>
#Ngoài lề: Lần sau bạn chú ý đặt tiêu đề topic có thêm tiền tố và lớp nhé. Mình đã sửa cho bạn rồi.