Nếu [TEX]x,y,z > 0[/TEX] thì
[TEX]\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy} \ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{xz}+\frac{1}{y}}+\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{z}} \ge 1+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{xz}+\frac{1}{y}}+\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{z}} \ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{xz}+\frac{1}{y}}+\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{z}} \ge (\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})+(\frac{1}{y}+[/TEX][TEX]\frac{1}{\sqrt{xz}})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{\sqrt{xy}})[/TEX] ( * )
Chứng minh [TEX]\sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}} \ge (\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{yz}+\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2}+2\times \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{yz}}+\frac{1}{yz}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{x}(1-\frac{1}{x}-2\sqrt{\frac{1}{yz}}) \ge 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]1-\frac{1}{x}-2\sqrt{\frac{1}{yz}} \ge 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\sqrt{\frac{1}{yz}} \ge 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{z}})^2 \ge 0[/TEX] (đúng)
Vậy [TEX]\sqrt{\frac{1}{yz}+\frac{1}{x}} \ge (\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\sqrt{\frac{1}{xz}+\frac{1}{y}} \ge (\frac{1}{y}+[/TEX][TEX]\frac{1}{\sqrt{xz}})[/TEX]
[TEX]\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{z}} \ge (\frac{1}{z}+\frac{1}{\sqrt{xy}})[/TEX]
Vậy ( * ) đúng
\Rightarrow đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
