[toán 10]BĐT khó!!!!!!!!!!!

comelygirl · 12 Tháng tư 2011

Cho a, b, c > 0 và a+b+c=3

CMR: [TEX] \frac{1}{a^2} [/TEX] +[TEX] \frac{1}{b^2} [/TEX] +[TEX] \frac{1}{c^2} [/TEX] >= a^2 +b^2 +c^2

Chứng minh nhanh hộ mình nha.
MÌnh gà mấy cái BĐT này lắm

vodichhocmai · 12 Tháng tư 2011

comelygirl said:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c=3

CMR: [TEX] \frac{1}{a^2} [/TEX] +[TEX] \frac{1}{b^2} [/TEX] +[TEX] \frac{1}{c^2} [/TEX] >= a^2 +b^2 +c^2

Giả sử rằng [TEX]a=\max\{a;b;c\}\righ a \in\[1;3\) [/TEX]

Nếu như [TEX]a\in \[ 1;1+\sqrt{2}\][/TEX] thì ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}- a^2 =4-4a+\frac{$a-1$^2\[2-(a-1)^2\]}{a^2}[/TEX]

do đó ta có :

[TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2 +12-4$a+b+c$[/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

nếu như [TEX]a\in \[ 1+\sqrt{2};3\)[/TEX] thì ta có :[TEX]b+c\le 2-sqrt{2}[/TEX] nên ta có ;

[TEX]\ \ \ \ \ \ \left{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{2}{bc}+\frac{1}{a^2} \ge \frac{8}{$b+c$^2} +\frac{1}{a^2}> 111+\frac{1}{a^2}\\ a^2+b^2+c^2< (b+c)^2+9 <15-2\sqrt{2}[/TEX][TEX]\righ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}> a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

.....................Các 2...............................................

[TEX]\left{LHS\ge \frac{$a+b+c$$a+b+c$}{$abc$$a+b+c$}\ge \frac{27}{$ab+bc+ca$^2}\\ $a^2+b^2+c^2$$ab+bc+ca$^2\le \frac{$a+b+c$^6}{27}[/TEX]

[TEX]\righ DONE!![/TEX]