Ta cần chứng minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \ge \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Thật vậy ta cóa:
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{(b+c)^3}{a^3}}}\ge \frac{1}{1+\frac{1}{2}.\frac{(b+c)^2}{a^2}}[/TEX]
Vì
[TEX](1+\frac{1}{2}.\frac{(b+c)^2}{a^2})^2 \ge 1+\frac{(b+c)^3}{a^3}(1)[/TEX]
Đặt [TEX]t=\frac{b+c}{a} [/TEX]
Khi đó [TEX](1)[/TEX] trở thành
[TEX](1+\frac{1}{2}t^2)^2 \ge 1+t^3 \Leftrightarrow (t^2-2t)^2 \ge 0[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức Bunihacopkia ta cóa:
[TEX]\frac{1}{1+\frac{1}{2}.\frac{(b+c)^2}{a^2}} \ge \frac{1}{1+\frac{b^2+c^2}{a^2}}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Tương tự xây dụng các bất đăng thức còn lại ta suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c[/TEX]