[Toán 10] BĐT Cô si

[thanh.nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình có mấy bài khó nhờ mọi người làm hộ cái

1) cho x,y,z > 0 c/m
Xyz(x+y+z)≪3∛(〖(x+y)〗^4 〖(y+z)〗^4 〖(x+z)〗^4 )

2) cho a,b,c>0 abc=1 c/m
a^3/((1+b)(1+c))+b^3/((1+c)(1+a))+c^3/((1+a)(1+b))≥3/4

3) a,b,c>0 a+b+c=6 c/m
(1+1/a^3 )(1+1/b^3 )(1+1/c^3 )≫729/512

4) Cho
S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd
ad-bc=1
c/m S≥√3
Tính F= (a+c)^2+(b+d)^2 khi S=√3

Mấy bài này mình đánh trong word 2007 rồi cóp sang
Đề chỗ nào ko rõ viết xuống dưới nhé, mình sẽ trả lời

 

[chontengi]

Mình có mấy bài khó nhờ mọi người làm hộ cái

2) cho a,b,c>0 abc=1 c/m
A= a^3/((1+b)(1+c))+b^3/((1+c)(1+a))+c^3/((1+a)(1+b))≥3/4

ta có [TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{(1+b)}8 + \frac{(1+c)}8\geq \frac{3a}4 [/TEX] (côsi cho 3 số)

tương tự...

cộng các vế lại với nhau

=>[TEX] A \geq\frac{3(a+b+c)}4 - 2(\frac{(1+a) + (1+b) + (1+c)}8[/TEX]

[TEX] A \geq\frac{2(a+b+c) - 3}4[/TEX]

mà [TEX]a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3[/TEX]

=>[TEX] A \geq \frac{3}4[/TEX]

 

[lkhangkv]

3) a,b,c>0 a+b+c=6 c/m
(1+1/a^3 )(1+1/b^3 )(1+1/c^3 )≫729/512

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương a,b,c ta có :
[TEX]6= a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow abc \leq 8 [/TEX]
Khai triển vế trái của bất đẳng thức ta có :
VT = [TEX]1 + \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3 b^3}+\frac{1}{b^3 c^3}+\frac{1}{c^3 a^3}+\frac{1}{a^3 b^3 c^3} = 1 + (\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} + \frac{1}{4096}a^3 b^3 c^3) + (\frac{1}{a^3 b^3}+\frac{1}{b^3 c^3}+\frac{1}{c^3 a^3}+\frac{1}{16777216}a^6 b^6 c^6)+(\frac{1}{a^3 b^3 c^3}+\frac{1}{262144}a^3 b^3 c^3) - \frac{1}{4096}a^3 b^3 c^3 - \frac{1}{262144}a^3 b^3 c^3 -\frac{1}{16777216}a^6 b^6 c^6 \geq 1+ 4\sqrt[4]{\frac{1}{a^3} \frac{1}{b^3} \frac{1}{c^3} \frac{1}{4096}a^3 b^3 c^3} + 4\sqrt[4]{\frac{1}{a^3 b^3} \frac{1}{b^3 c^3} \frac{1}{c^3 a^3} \frac{1}{16777216}a^6 b^6 c^6} + 2\sqrt[2]{\frac{1}{a^3 b^3 c^3} \frac{1}{262144}a^3 b^3 c^3} - \frac{1}{4096}8^3 - \frac{1}{16777216}8^6 - \frac{1}{262144}8^3 =\frac{729}{512} [/TEX]
Bài toán được chứng minh !

 

[bboy114crew]

đề thế này fai ko?

Mình có mấy bài khó nhờ mọi người làm hộ cái

1) cho x,y,z > 0 c/m
[tex]16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4 +(y+z)^4 +(x+z)^4}[/tex]


4) Cho
[tex]S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd[/tex]
ad-bc=1
c/m S≥√3
Tính [tex]F= (a+c)^2+(b+d)^2[/tex] khi S=√3

1) ta có: [tex](x+y)(x+z)(y+z) = (x+y+z)xy + yz(x+y+z) +xz^2 + zx^2 [/tex]
Vì x,y,z > 0 nên áp dụng BDT cauchy cho 8 số dương :
3 số [tex]\frac{1}{3}(x+y+z)xy [/tex], 3 số [TEX]\frac{1}{3}yz(x+y+z)[/TEX] , [TEX]xz^2,zx^2[/TEX] ta có:
[TEX](x+y)(x+z)(y+z) \geq 8\sqrt[8]{\frac{(zyx)^2(x+y+z)^{6}}{3^{6}}} = 8\sqrt\sqrt[4]{\frac{(zyx)^3(x+y+z)^{3}}27}[/TEX]
<=> [tex]16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4 +(y+z)^4 +(x+z)^4}[/tex]
dấu ''='' xảy ra khi:
[TEX]\frac{1}{3}(x+y+z)xy =\frac{1}{3}yz(x+y+z)=xz^2=zx^2 <=>x=y=z[/TEX]
4)ta có: [TEX](ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)[/TEX]
=>[TEX]1+ (ac+bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)[/TEX]áp dụng BDT cauchy ta có:
[TEX](a^2+b^2)+c(^2+d^2) \geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}[/TEX]
=> [tex]a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd \geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} + ac + bd[/tex]
ta sẽ cm [TEX]2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} + ac + bd \geq \sqrt{3}[/TEX]
<=> [TEX]2\sqrt{1+ (ac+bd)^2} + ac + bd \geq \sqrt{3}[/TEX]
đặt ac + bd = x và [tex]p = 2\sqrt{1+ x^2} +x[/tex]
ta có: [tex]|x| = \sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+ x^2} [/tex]; mà [tex]|x| \geq -x => p > 0[/tex]
xét [TEX]p^2 = (1+x)^2 + 4x\sqrt{1+x^2} + x^2=(\sqrt{1+x^2} + 2x)^2 + 3 \geq 3 => p^2 \geq 3 => p \geq \sqrt{3} => S \geq \sqrt{3}[/TEX]
dấu = xảy ra khi : [tex]a^2 + b^2 = c^2 + d^2[/tex]
[TEX]ac + bd = \frac{-1}{3}[/TEX]
[TEX]ad - bc = 1[/TEX]
theo trên ta có:
[TEX](ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3} [/TEX]
do đó:[tex]a^2 + b^2 = c^2 + d^2=\frac{2}{/sqrt{3}}[/tex]
ta có: [tex]F= (a+c)^2+(b+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ac + 2bd = \frac{2}{/sqrt{3}}[/tex]