[Toán 10] [Bất đẳng thức]

[vinh777]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ CMR với mọi số nguyên dương n , ta có:
a/ [tex]\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{(2.3)}+..................+\frac{1}{(n(n+1))} < 1[/tex]
b/ [tex]\frac{1}{(1^2)}+\frac{1}{(2^2)}+............+\frac{1}{(n^2)} < 2[/tex]
2/ CMR: [tex]x^n + 1 \geq 0 \forall x \geq -1 ; n \in\ N*[/tex]
3/ CMR: với mọi k thuộc N* ta có
[tex]\huge \frac{1}{(k+1)\sqrt{(k)}} < 2(\frac{1}{\sqrt{(k)}} - \frac{1}{\sqrt{(k+1)}})[/tex]
Áp dụng CMR: 1/2 + 1/3căn2 + 1/4căn3 + ............. + 1/((n+1)căn(n)) < 2
4/ Cho k>0. CMR
[tex]\frac{1}{(k^3)} < \frac{1}{(k-1)} - \frac{1}{k}[/tex]
suy ra: 1/(1^3) + 1/(2^3) + 1/(3^3) + .................. + 1/(n^3) < 2
5/ a,b,c,d>0.CMR:
[tex] 1 < \frac{a}{(a+b+c)} + \frac{b}{(b+c+d)} + \frac{c}{(c+d+a)} + \frac{d}{(d+a+b)} < 2[/tex]

 

[rua_it]

1/ CMR với mọi số nguyên dương n , ta có:
a/ [tex]\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{(2.3)}+..................+\frac{1}{(n(n+1))} < 1[/tex]

[tex]\forall n\geq1 : \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}<1(dpcm)[/tex]

b/ [tex]\frac{1}{(1^2)}+\frac{1}{(2^2)}+............+\frac{1}{(n^2)} < 2[/tex]

[tex]\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}(DK:n>1) [/tex]
[tex]\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+.....+\frac{1}{n^2}<1+1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2 ,\forall n>1[/tex]

2/ CMR: [tex]x^n + 1 \geq 0(1) \forall x \geq -1 ; n \in\ N*[/tex]

\forall x\geq -1, ta có:
Với [tex]n=1, \Rightarrow x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1[/tex] (đúng)
Giả sử đúng với [tex]n=k,\Rightarrow x^k+1 \geq 0[/tex]
Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1,
Thật vậy, với [tex]n=k+1, \Rightarrow x^{k+1}+1\geq 0[/tex]
Mà [tex]x^k+1 \geq 0 [/tex] nên ta chỉ cần chứng minh [tex]x^{k+1}+1\geq x^k+1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{k+1}\geq x^k \Leftrightarrow x^k.x \geq x^k \Leftrightarrow x \geq 1 [/tex]
Vậy (1) đúng với k+1 nên theo quy nạp ta được [tex]dpcm[/tex]

 

[rua_it]

5/ a,b,c,d>0.CMR:
[tex] 1 < \frac{a}{(a+b+c)} + \frac{b}{(b+c+d)} + \frac{c}{(c+d+a)} + \frac{d}{(d+a+b)} < 2[/tex]

[tex]\forall a,b,c,d>0[/tex], ta có:
[tex]\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c} <\frac{a}{a+c}[/tex]
[tex]\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d} <\frac{b}{b+d}[/tex]
[tex]\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a} <\frac{c}{c+a}[/tex]
[tex]\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b} <\frac{d}{d+b}[/tex]

Cộng theo vế ta có [tex]dpcm[/tex]

 

[dangsatthu08]

Với \forall k>0 ,ta có: [tex]\frac{1}{k^3}=\frac{1}{k.k^2}< \frac{1}{k(k^2+1)}[/TEX]

theo mình thì [tex]k^2\geq k^2+1[/tex]nên[TEX]\frac{1}{k^3}=\frac{1}{k.k^2}< \frac{1}{k(k^2-1)}[/TEX]
vậy mới suy ra tiếp được

 

[rua_it]

[tex]\frac{1}{k^3} <\frac{1}{k^2}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k.(k-1)}=\frac{k-k+1}{k.(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}, \forall k>0[/tex]

 

[rua_it]

3/ CMR: với mọi k thuộc N* ta có
[tex]\huge \frac{1}{(k+1)\sqrt{(k)}} < 2(\frac{1}{\sqrt{(k)}} - \frac{1}{\sqrt{(k+1)}})[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{k}.(k+1)}=\frac{\sqrt{k}}{k.(k+1)}=\sqrt{k}.(\frac{k-k+1}{k(k+1)}=\sqrt{k}.(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}.(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}).(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})[/tex]
[tex] = (1+{\sqrt{\frac{k}{k+1}}}).(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})< 2.(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}) ( \frac{k}{k+1}<1 \forall k \in\ N*)[/tex]
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1).\sqrt{n}} < 2.(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(dpcm)[/tex]

 

[rooney_cool]

theo mình thì [tex]k^2\geq k^2+1[/tex]nên[TEX]\frac{1}{k^3}=\frac{1}{k.k^2}< \frac{1}{k(k^2-1)}[/TEX]
vậy mới suy ra tiếp được

Làm sao mà [tex]k^2\geq k^2+1[/tex] được ??? :|

 

[dangsatthu08]

[TEX]k^2\leq k^2+1[/TEX]
trời ạh....lớn rồi mà còn đánh máy nhầm ...hixhix