[Toán 10] Bất đẳng thức

[lp_qt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x;y;z >0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.CMR:

$$\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8} \ge \dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{27}(xy+yz+xz)$$

Khởi động chuẩn bị đi học thôi nào )

 

[huynhbachkhoa23]

$\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y+2}{27}+\dfrac{y^2-2y+4}{27}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{27^2}}=\dfrac{x}{3}$
Do đó $\dfrac{x^3}{y^3+8}\ge \dfrac{x}{3}+\dfrac{-y^2+y-6}{27}$
Tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.

 

[lp_qt]

Bây giờ đổi thành thế này thì sao

Cho $x;y;z >0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm Min (nếu có thể)

$$\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bây giờ đổi thành thế này thì sao

Cho $x;y;z >0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm Min (nếu có thể)

$$\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}$$

$\sum \dfrac{x^3}{y^3+8}\ge \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+8(x^3+y^3+z^3)}$
Chú ý rằng $x^3+y^3+z^3\ge 3$ và $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\le \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}$ nên
$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3+8(x^3+y^3+z^3)\le \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}+\dfrac{8}{3}(x^3+y^3+z^3)^2=3(x^3+y^3+z^3)^2$
Vậy $\sum \dfrac{x^3}{y^3+8}\ge \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3(x^3+y^3+z^3)^2}=\dfrac{1}{3}$

 

[vietanhqlqx]

b

$\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y+2}{27}+\dfrac{y^2-2y+4}{27}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{27^2}}=\dfrac{x}{3}$
Do đó $\dfrac{x^3}{y^3+8}\ge \dfrac{x}{3}+\dfrac{-y^2+y-6}{27}$
Tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.

Sao lai ra duoc nhu vay nhi ?? minh k hieu lam. ban giai ki ra duoc k

 

[huynhbachkhoa23]

Sao lai ra duoc nhu vay nhi ?? minh k hieu lam. ban giai ki ra duoc k

Xét bất đẳng thức AM-GM: $x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ với $x_1,x_2,...,x_n\ge 0$
Khi $n=3$ ta được $x_1+x_2+x_3\ge 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3}$
Chọn $x_1=\dfrac{x^3}{y^3+8}, x_2=\dfrac{y+2}{27}, x_3=\dfrac{y^2-2y+4}{27}$ là sẽ được bất đẳng thức của mình/em/anh ở trên.