[Toán 10] Bất đẳng thức

[traiphungcong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{a}{b}>1$ thì $\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+c}{b+c}<3$

áp dụng vào bđt sau: $\dfrac{a+b}{a+b+c} + \dfrac{b+c}{b+c+d} + \dfrac{c+d}{c+d+a}+ \dfrac{d+a}{d+a+b}$

B3: Cho $a,b,c,d,e \ge 0$. CMR

a, $(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2) \ge 9abc$

b, $\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b}+ \dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$

Nhấn sửa bài để xem cách gõ công thức!

 

[lp_qt]

3.

a. $a+b+c \ge 3.\sqrt[3]{abc}$

$a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$

\Rightarrow $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 9.abc$

b.

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge 2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}=2b$

\Rightarrow $2.(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}) \ge 2(a+b+c)$

\Rightarrow đpcm.

 

[hien_vuthithanh]

3b

Cách khác : Có vẻ dài

Ta có$ \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} \ge a+b+c $

\Leftrightarrow$ (\sum \dfrac{bc}{a})^2 \ge (\sum a)^2$

\Leftrightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + 2\sum a^2 \ge \sum a^2 +2\sum ab$

\Leftrightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + \sum a^2 \ge 2\sum ab$ (*)

Ta có $\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2} \ge 2b^2$

TT \Rightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} \ge \sum a^2$

\Rightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + \sum a^2 \ge 2\sum a^2 \ge 2\sum ab$

\Rightarrow (*) Đúng

\Rightarrow ◘

 

[eye_smile]

3b,Cách khác:

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3abc} \ge \dfrac{3(a^2bc+ab^2c+abc^2)}{3abc}=a+b+c$

\Rightarrow đpcm.

 

[eye_smile]

1.Đề sai.

$\dfrac{a}{b}>1$

\Leftrightarrow $a>b$

*$\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+c}{b+c}$

\Leftrightarrow $a(b+c)<b(a+c)$

\Leftrightarrow $ac<bc$

\Leftrightarrow $a<b$ (trái với GT)