[Toán 10] Bất đẳng thức

[hoangtpf4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có 1 góc không nhọn. $AB=c, AC=b, BC=a$.

Tìm GTNN $P=\dfrac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$

Chú ý tiêu đề và cách gõ công thức!

 

[eye_smile]

Gỉa sử b là cạnh lớn nhất.

Đặt $\dfrac{c}{b}=x;\dfrac{a}{b}=y$ \Rightarrow $x^2+y^2 \le 1$

Ta cm:

$(a+b)(b+c)(c+a) \ge (4+3\sqrt{2})abc$

\Leftrightarrow $(1+\dfrac{b}{a})(1+\dfrac{c}{b})(1+\dfrac{a}{c}) \ge 4+3\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $(1+\dfrac{1}{y})(1+x)(1+\dfrac{y}{x}) \ge 4+3\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $2+(x+y)+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})+(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}) \ge 4+3\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $(x+y)+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})+(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}) \ge 2+3\sqrt{2}$

Có: $(x+y)+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})+(\dfrac{x}{y}+ \dfrac{y}{x}) \ge 2+(x+y)+ \dfrac{4}{x+y}=2+(x+y)+ \dfrac{4}{2(x+y)}+ \dfrac{4}{2(x+y)} \ge 2+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=2+3\sqrt{2}$

\Rightarrow đpcm,

\Rightarrow $P \ge 4+3\sqrt{2}$

 

[hien_vuthithanh]

Cách khác


Vì tam giác đã cho là không nhọn nên giả sử là $\widehat{C}\ge90^{0}$

Ta có : $\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=cos{C} \le 0 $\Rightarrow $c^{2}\ge a^{2}+b^{2} \ge \dfrac{(a+b)^{2}}{2}$
\Rightarrow $(a+b)\le c\sqrt{2}$

Ta có :

$P=\dfrac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{ab(a+b)}+(\dfrac{b+a}{c}+\dfrac{2c}{a+b}-2\sqrt{2})+\dfrac{\sqrt{2}(c\sqrt{2}-(a+b))}{a+b}\ge 0 $

Dấu '' = '' xảy ra \Leftrightarrow $c=a\sqrt{2}=b\sqrt{2}$

Nguồn : VMF​