[Toán 10]Bất đẳng thức

V

vuive_yeudoi

congchuaanhsang said:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3a+b+c=3. Cm

19−ab+19−bc+19−ca≤38\dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-bc}+\dfrac{1}{9-ca} \le \dfrac{3}{8}
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Từ bất đẳng thức quen biết ab+bc+ca≤(a+b+c)23=3 \displaystyle ab+bc+ca \le \frac{ \left( a+b+c \right)^2}{3} =3 và a,b,c>0\displaystyle a ,b,c >0 có 0<ab,bc,ca<3 \displaystyle 0 < ab , bc , ca < 3 .

Ta thấy với t∈(0,3) \displaystyle t \in \left( 0 , 3 \right) thì
19−t≤t2+4t+43384 \frac{1}{9-t} \le \frac{t^2+4t+43}{384}
Do đó
19−ab+19−bc+19−ca≤a2b2+b2c2+c2a2+4(ab+bc+ca)+129384 \dfrac{1}{9-ab}+\dfrac{1}{9-bc}+\dfrac{1}{9-ca} \le \frac{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4 \left( ab+bc+ca \right)+129}{384}
Cần chứng minh
a2b2+b2c2+c2a2+4(ab+bc+ca)+129384≤38 \frac{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4 \left( ab+bc+ca \right)+129}{384} \le \frac{3}{8}
Tương đương với
a2b2+b2c2+c2a2+4(ab+bc+ca)≤15 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+4 \left( ab+bc+ca \right) \le 15
Nhận thấy
15 - a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-4 \left( ab+bc+ca \right) \\
= 15 \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^4 - a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 -4 \left( ab+bc+ca \right) \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^2 \\
= \frac{1}{54} \cdot \left( \left( a+5b \right) \left( 5a+b \right) \left( a-b \right)^2 + \left( b+5c \right) \left( 5b+c \right) \left( b-c \right)^2 + \left( c+5a \right) \left( 5c+a \right) \left( c-a\right)^2 \right) \ge 0
Từ đó có điều cần chứng minh .
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom