[Toán 10] Bất đẳng thức

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2b^2+ca}+\dfrac{1}{2c^2+ab}\ge \dfrac{2}{ab+bc+ca} $$

Bài 2: (Làm theo cách lớp 8, tuyệt đối không Schur) Cho các số không âm $a,b,c$ có tổng bằng $2$. Chứng minh rằng:
$$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \le 2$$

Bài 3: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+b)}\le \dfrac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

P/s: Thể loại điểm rơi tào lao =))

 

[braga]

$\fbox{3}. \ text{HD:}$
Theo $Cauchy-Schwartz$ ta có:
$$\begin{array}
p \left(\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}\right)^2\le (a+1)(b+1+bc+b)=(a+1)(bc+2b+1) \\
\implies VT\le \sqrt{(a+1)(bc+2b+1)}+\sqrt{c(a+1)}\le \dfrac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}\\
\iff \sqrt{bc+2b+1}+\sqrt{c}\le \dfrac{3}{2}\sqrt{(b+1)(c+1)}
\end{array}.$$
Tiếp tục $Cauchy-Schwartz$:
$$\begin{array}{ll}
p \left(\sqrt{bc+2b+1}+\sqrt{c}\right)^2 \begin{array} =\left(1.\sqrt{bc+2b+1}+\sqrt{c+1}.\sqrt{\dfrac{c}{c+1}}\\
\le (bc+2b+1+c+1)\left(1+\dfrac{c}{c+1}\right)\\
=\dfrac{(b+1)(c+2)(2c+1)}{c+1}
\end{array}{ll}.$$
Ta cần chứng minh:
$$\begin{array}{ll}
a \sqrt{\dfrac{(b+1)(c+2)(2c+1)}{c+1}}\le \dfrac{3}{2}\sqrt{(b+1)(c+1)}\\
\iff 4(c+2)(2c+1)\le 9(c+1)^2 \\
\iff (c-1)^2\ge 0
\end{array}{ll}.$$