[Toán 10] Bất Đẳng Thức

[viethoang1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:
$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$
Nói cách khác, Cmr:
$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:
$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

Giải bằng nhiều cách.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
Bất đẳng thức mạnh hơn là $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc) \le 4(a+b+c)^3$

Cách 1: Giả sử $b=\text{median{a;b;c}}$

Khi đó dễ dàng chứng minh $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\le 27(a^2b+c^2b+2abc)$

Mặt khác theo BDT AM-GM:
$$27b(a+c)^2=\dfrac{27}{2}.2b.(a+c).(a+c) \le \dfrac{27}{2}.\dfrac{8(a+b+c)^3}{27}=4(a+b+c)^3$$

Cách 2: Đạo hàm toàn miền: $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$ đúng

Vậy ta chỉ cần xét trường hợp $c=0$

Bất đẳng thức tương đương: $27a^2b \le 4(a+b)^3$

Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM-GM:
$$27a^2b=\dfrac{27}{2}a.a.2b \le \dfrac{27}{2}.\dfrac{8(a+b)^3}{27}=4(a+b)^3$$

Hoàn tất chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=2;b=1;c=0$ và các hoán vị tương ứng.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Với mọi số không âm $x,y,z$ ta có:
$$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2} \ge \dfrac{\left (\sum\limits_{cyc} x^2 \right)^2}{\sum\limits_{cyc} x^4+xyz(x+y+z)+\sum\limits_{cyc}y^2z^2}\ge \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} x^2 \right)^2}{\sum\limits_{cyc} x^4+2\sum\limits_{cyc} y^2z^2}=1 $$

Đăt $a=\dfrac{yz}{x^2};b=\dfrac{zx}{y^2};c=\dfrac{xy}{z^2}$ cho ta điều cần chứng minh.