[Toán 10] Bất đẳng thức

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:
$$ a+b+c+\dfrac{1}{4}\text{min{$(a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2$}} \le 3 $$

Bài 2: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng:
$$ a+b+c\le 3+\dfrac{1}{4}\text{max{$(a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2$}} $$

Bài 3: Cho các số thực $a,b,c \in [1;2]$. Chứng minh:
$$a^3+b^3+c^3 \le 5abc$$

 

[viethoang1999]

Bài 1:
Từ giả thiết, đặt:
$a=2\sqrt{\dfrac{xy}{(z+y)(x+z)}}$
$b=2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+x)(x+z)}}$
$c=2\sqrt{\dfrac{zx}{(y+x)(z+y)}}$
Giả sử $a\ge b\ge c$
BDT\Leftrightarrow $\sum \left (\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}-\sqrt{\dfrac{z}{z+x}} \right )^2\ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{x}{x+z}.\left ( \sqrt{\dfrac{y}{x+y}}-\sqrt{\dfrac{z}{z+y}} \right )$
...
Chú ý: $\dfrac{x}{x+z}\le 1$
P/s: Mai tìm cho mấy cách ...

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
Từ giả thiết, đặt:
$a=2\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)(x+z)}}$
$b=2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+x)(y+z)}}$
$c=2\sqrt{\dfrac{zx}{(z+x)(z+y)}}$
Giả sử $a\ge b\ge c$
BDT\Leftrightarrow $\sum \left (\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}-\sqrt{\dfrac{z}{z+x}} \right )^2\ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{x}{x+z}.\left ( \sqrt{\dfrac{y}{x+y}}-\sqrt{\dfrac{z}{z+y}} \right )$
...
P/s: Mai tìm cho mấy cách ...

Hình như lời giải sai rồi anh.

$a \ge b \ge c$ không có đánh giá được các $|a-b|, |b-c|, |c-a|$ đâu anh, nên không thể bỏ cái min đó đi được.

 

[viethoang1999]

Thôi làm bài 3 trước đã.
3)
Giả sử $a\ge b\ge c$
Ta có: $b^2+b+1\le a^2+a+1\le 2a+a+1\le 5a$
$c^2+c+1\le a^2+a+1\le 5a\le 5ab$
Ta sẽ chứng minh:
$a^3+2\le 5a$ \Leftrightarrow $(a-2)(a^2+2a-1)\le 0$ (luôn đúng)
$5a+b^3\le 5ab+1$ \Leftrightarrow $(b-1)(b^2+b+1-5a)\le 0$ (luôn đúng)
$5ab+c^3\le 5abc+1$ \Leftrightarrow $(c-1)(c^2+c+1-5ab)\le 0$ (luôn đúng)
Cộng theo vế có đpcm.

Bài 1;2 thì chờ tối làm nhé...
P/s: Em đúng là Nhân tài Bất Đẳng Thức =))

 

[viethoang1999]

Bài 2 em bảo làm rồi nên anh làm bài 1 thôi nhé (cũng tương tự thôi)

1)
+ Nếu $2\sum ab\le \sum a^2$ dễ dàng suy ra đpcm
+ Ngược lại, theo bđt Schur có:
$abc\ge \dfrac{(2\sum ab-\sum a^2)(\sum ab+\sum a^2)}{6(a+b+c)}\ge \dfrac{2\sum ab-\sum a^2}{3}$
Vì $\sum a^2\ge 3$ và $3(4-\sum ab)=\dfrac{3}{2}.\sum (a-b)^2-(\sum ab-3abc)\ge \dfrac{3}{2}\sum (a-b)^2-\dfrac{1}{2}\sum (a-b)^2=\sum (a-b)^2\ge max \{(a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2\}$

Mạnh hơn =))

 

[viethoang1999]

Chết nhìn nhầm đề @@
Giả sử $a\ge b\ge c$.
Dễ thấy $\sum a^2\ge 3$
\Rightarrow $4[\sum a^2-\sum a]\ge 2\sum (a-1)^2$
Chú ý: $2[(a-1)^2+(1-c)^2]\ge (a-c)^2$

Có thể cm bđt mạnh hơn là $3\ge ab+bc+ca+\dfrac{1}{4}.[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$