[toán 10] bất đẳng thức

[schoolsmart]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c duơng thoả mãn a+b+c+2=abc. chứng minh rằng
$ bc \sqrt{a^2-1}+ca \sqrt{b^2-1} +ab \sqrt{c^2-1} \le \dfrac{ 1}{2} 3\sqrt{3}abc$

 

[viethoang1999]

cho a,b,c duơng thoả mãn a+b+c+2=abc. chứng minh rằng
$ bc \sqrt{a^2-1}+ca \sqrt{b^2-1} +ab \sqrt{c^2-1} \le \dfrac{ 1}{2} 3\sqrt{3}abc$

BĐT\Leftrightarrow $\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}} \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Áp dụng bđt BCS ta có:
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2 \le 3\sum \left(1-\dfrac{1}{a^2}\right)=9-3\sum \dfrac{1}{a^2}$ (1)
Vì $a+b+c+2=abc$ nên với $x;y;z>0$ ta có: $a=\dfrac{y+z}{x};b=\dfrac{z+x}{y};c=\dfrac{x+y}{z}$
Áp dụng bđt BCS và bđt Nesbit ta có:
\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a^2}=\sum \left(\dfrac{x}{y+z}\right)^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\sum \dfrac{x}{y+z}\right)^2 \ge \dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2 \le \dfrac{27}{4}$
\Rightarrow đpcm.

En lưu ý tí nhé, $\latex$ bên này hơi khác so với VMF
Xuống dòng ta có thể dùng lệnh \\ rồi xuông tiếp dòng
Lệnh geq thay bằng \ge
leq cũng thay bằng \le thì không cần ngắt dấu $ đâu
Ấn "sửa bài" để xem cách gõ nhé

OK

 

[viethoang1999]

Tự nhiên anh forum yêu cầu cái này không hiểu
Bạn copy lại lời giải này, ấn nút "gửi lời giải" để trả lời nhé

Mod xác nhận , giảm tồn đọng .
___________________

cho a,b,c duơng thoả mãn a+b+c+2=abc. chứng minh rằng
$ bc \sqrt{a^2-1}+ca \sqrt{b^2-1} +ab \sqrt{c^2-1} \le \dfrac{ 1}{2} 3\sqrt{3}abc$

BĐT\Leftrightarrow $\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}} \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Áp dụng bđt BCS ta có:
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2 \le 3\sum \left(1-\dfrac{1}{a^2}\right)=9-3\sum \dfrac{1}{a^2}$ (1)
Vì $a+b+c+2=abc$ nên với $x;y;z>0$ ta có: $a=\dfrac{y+z}{x};b=\dfrac{z+x}{y};c=\dfrac{x+y}{z}$
Áp dụng bđt BCS và bđt Nesbit ta có:
\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{a^2}=\sum \left(\dfrac{x}{y+z}\right)^2 \ge \dfrac{1}{3}\left(\sum \dfrac{x}{y+z}\right)^2 \ge \dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2 \le \dfrac{27}{4}$
\Rightarrow đpcm.

"Bài dự thi event box toán 10"

 

[forum_]

BTC:

Đúng, +2đ

==> Cảm ơn bạn đã tham gia event