Không xài đến đạo hàm, chỉ xài các BDT cổ điển
Áp dụng liên tiếp các bdt cauhy, bunhia, ta được:
$-(\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1})=-(\dfrac{x}{x^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{y}{y^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}) \geq -(\dfrac{x}{x+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{y}{y+\dfrac{3}{4}})=-(2-3(\dfrac{1}{4x+3}+\dfrac{1}{4y+3})) \geq -2+3(\dfrac{(1+1)^2}{4(x+y)+6})=-2+\dfrac{12}{10}=-\dfrac{4}{5}$ (1)
Mặt khác :
$\sqrt{(1+4)(4x^2+\dfrac{1}{x^2})} \geq 2(x+\dfrac{1}{x}) \Leftrightarrow \sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}\geq \dfrac{2}{\sqrt{5}}(x+\dfrac{1}{x})$
Tương tự với y, cộng các vế lại ta được:
$\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{5}}(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \geq \dfrac{2}{\sqrt{5}}(x+y+\dfrac{4}{x+y})$ (chú ý BDT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\dfrac{4}{x+y}$
Đến đây, theo cauchy:
$x+y+\dfrac{4}{x+y} = (x+y+\dfrac{1}{x+y})+\dfrac{3}{x+y} \geq 2+3=5$
Nên: $\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}} \geq \dfrac{2}{\sqrt{5}}(x+y+\dfrac{4}{x+y}) \geq 2\sqrt{5}$ (2)
Cộng các vế (1) và (2), ta được:
$P=\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}}-(\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1})
\geq 2\sqrt{5}-\dfrac{4}{5}$
Dấu bằng xảy ra hay P đạt GTNN khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn