[Toán 10] Bất đẳng thức

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Tìm min, max của $P=x(x^2+3)+y(y^2+3)$ với x, y thuộc R và $x^4+y^4+(xy+1)^2=2$
Bài 2
Cho tam giác ABC có $l_a,l_b,l_c$ là độ dài các đường phân giác trong, $h_a,h_b,h_c$ là độ dài 3 đường cao
CM
$\frac{1}{h_ah_b}+\frac{1}{h_bh_c}+\frac{1}{h_ch_a}$ \geq $\frac{1}{l_a^2}+\frac{1}{l_b^2}+\frac{1}{l_c^2}$

 

[viethoang1999]

Bài 1:
$x^4+y^4+(xy+1)^2=2$
\Leftrightarrow $(x^2-xy+y^2+1)(x^2+xy+y^2-1)=0$
\Leftrightarrow $x^2+y^2+xy=1$.
Đặt $t=xy$ với $-1<t\le \dfrac{1}{3}$
$\bullet $ TH1: $x+y=\sqrt{1+t}$
\Rightarrow $P=(x+y)(x^2-xy+y^2+3)=2(2-t)\sqrt{1+t}$
\Rightarrow $0\le P\le 4$
$\bullet $ TH2: $x+y=-\sqrt{1+t}$
\Rightarrow $P=-2(2-t)\sqrt{1+t}$
\Rightarrow $-4\le P\le 0$
Vậy $minP=-4$ khi $(x;y)=(-1;0);(0;-1)$
$maxP=4$ khi $(x;y)=(1;0);(0;1)$

"Bài dự thi event box toán 10"

 

[viethoang1999]

Bài 2:
Áp dụng các công thức sau:
$\bullet $ $\sum \dfrac{1}{h_ah_b} = \dfrac{ab+bc+ca}{4S^2}$

$\bullet $ $l_a =\dfrac{2S}{(b+c).\sin{ \dfrac{A}{2} }}$

Bình phương ta được $\dfrac{1}{l_a^2} = \dfrac{(b+c)^2-(b+c)^2. \cos A}{8S^2}$

$\bullet $ $\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (Định lý hàm số cô sin)
$\bullet $ $(b+c)^2\ge 4bc$ (BĐT AM-GM)
Thay vào và cộng lại ta được:

$\dfrac{1}{l_a^2} \le \dfrac{2b^2+2ca-a^2-c^2}{8S^2}$
Tương tự: $\dfrac{1}{l_b^2}=...$
$\dfrac{1}{l_c^2}=...$

\Rightarrow $\sum \dfrac{1}{l_a^2}\le \dfrac{ab+bc+ca}{4S^2} = \sum \dfrac{1}{h_a.h_b}$

"Bài dự thi event box toán 10"

 

[forum_]

BTC:

viethoang1999: +6đ


==========================================