Toán 10-Bất đẳng thức

[thoconcute]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giải cho mình bất đẳng thức này nhé!

a) $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$\geq$a(b+c+d+e)$

b)$a^4+3$\geq$4a$

Cám ơn mọi người nhiều

 

[nguyenbahiep1]

b)$a^4+3$\geq$4a$

Lớp 10 chỉ được áp dụng cô si cho 2 số và 3 số

[laTEX](a^4 +1) + 2 \geq 2a^2+2 \geq 2.\sqrt{2.2.a^2} = 4|a| \geq 4a \Rightarrow dpcm[/laTEX]

dấu = xảy ra khi [laTEX]a =1[/laTEX]

 

[nguyenbahiep1]

Các bạn giải cho mình bất đẳng thức này nhé!

a) $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$\geq$a(b+c+d+e)$


Cám ơn mọi người nhiều

[laTEX]b^2+\frac{a^2}{4} \geq ab \\ \\ c^2+\frac{a^2}{4} \geq ac \\ \\ d^2+\frac{a^2}{4} \geq ad \\ \\ e^2+\frac{a^2}{4} \geq ae[/laTEX]

cộng các vế vào ta được điều phải chứng minh

dấu bằng xảy ra khi :[laTEX] b=c=d=e = \frac{a}{2}[/laTEX]

 

[nguyenquynang98]

Các bạn giải cho mình bất đẳng thức này nhé!

a) $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$\geq$a(b+c+d+e)$

b)$a^4+3$\geq$4a$

Cám ơn mọi người nhiều

bài 1:biến đổi tương đương
[TEX] pt \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a(b+c+d+e) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b)^2+ (\frac{a}{2}-c)^2+ (\frac{a}{2}-d)^2+ (\frac{a}{2}-e)^2 \geq 0 [/TEX] (luôn đúng)
dấu băng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
bài 2: biến đổi tương đương
[TEX] pt \Leftrightarrow a^4-2a^2+1+2(a^2-2a+1) \geq 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (a^2-1)^2+(a-1)^2 \geq 0[/TEX] (luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi a=1

 

[thuong0504]

b)$a^4+3$\geq4a

\Leftrightarrow$a^4-a-3a+3$\geq0

\Leftrightarrow$a(a^3-1)-3(a-1)$\geq0

\Leftrightarrow$a(a-1)(a^2+a+1)-3(a-1)$\geq0

\Leftrightarrow$(a-1)(a^3+a^2+a-3)$\geq0

\Leftrightarrow$(a-1)^2(a^2+2a+3)$\geq0

\Leftrightarrow$(a-1)^2.[(a+1)^2+2]$\geq0 ( đúng )

Vậy: $a^4+3$\geq4a (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=1

 

[thoconcute]

Mọi người giải bài này nữa nhé!

Tìm GTLN của hàm số sau:

$P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ac\sqrt{b-2}+ab\sqrt{c-3}}{abc}$

 

[nguyenbahiep1]

Mọi người giải bài này nữa nhé!

Tìm GTLN của hàm số sau:

$P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ac\sqrt{b-2}+ab\sqrt{c-3}}{abc}$

[laTEX]P = \frac{\sqrt{a-1}}{a} + \frac{\sqrt{b-2}}{b} +\frac{\sqrt{c-3}}{c} \\ \\ \sqrt{a-1} \leq \frac{1}{2}.(1 + a-1) = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a} \leq \frac{1}{2} \\ \\ \frac{\sqrt{b-2}}{b} \leq \frac{b-2 +2 }{2\sqrt{2}b} = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \\ \frac{\sqrt{c-3}}{c} \leq \frac{c-3+3}{2\sqrt{3}c} = \frac{\sqrt{3}}{6}[/laTEX]

cộng dồn vào là ra đáp án

dấu = xảy ra tự làm được

 

[thoconcute]

Chứng minh rằng a>b>0 và b>c>0 thì:

$\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}$ \leq 1

(

 

[vipboycodon]

$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le 1$
Áp dụng bdt cô-si ta có :
$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}} \le \dfrac{c+a-c}{a+b} \le \dfrac{a}{a+b}$
$\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{c+b-c}{a+b} \le \dfrac{b}{a+b}$
Cộng vế với vế ta có:
$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{a+b}{a+b} \le 1$
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} c = a-c \\ a = b \\ c = b-c \end{cases}$ <=> $a = b = 2c$