Theo mình thì BĐT này cần thêm điều kiện a,b,c\geq1 bạn ạ! Bạn xem lại đề nha!
Áp dụng BĐT $(x+y+z)^2$\geq3(xy+yz+xz) (1) với x=ab;y=bc;z=ca ta có:
$(ab+bc+ca)^2$\geq3($ab^2c$+$bc^2a$+$a^2bc$)=3abc(a+b+c)
Vì a,b,c\geq1\Rightarrow3abc(a+b+c) dương
\Rightarrow$(ab+bc+ca)^4$\geq9$a^2b^2c^2$ $(a+b+c)^2$
Áp dụng BĐT (1) với x=a;y=b;z=c ta có:
$(a+b+c)^2$\geq3(ab+bc+ca)
\Rightarrow$(ab+bc+ca)^4$\geq27$a^2b^2c^2$(ab+bc+ca)
Xét $a^2b^2c^2$(ab+bc+ca)=$a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
$a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$\geq2$\sqrt{a^5b^6c^5}$=2$b^3$ $(\sqrt{ac})^5$
$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$\geq2$\sqrt{a^5b^5c^6}$=2$c^3$ $(\sqrt{ab})^5$
$a^3b^3c^2$+$a^3b^2c^3$\geq2$\sqrt{a^6b^5c^5}$=2$a^3$ $(\sqrt{bc})^5$
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được:
$a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$\geq$a^3$ $(\sqrt{bc})^5$+$b^3$ $(\sqrt{ac})^5$+$c^3$ $(\sqrt{ab})^5$
Vì a,b,c\geq1 \Rightarrow $(\sqrt{bc})^5$\geq1\Rightarrow$a^3$ $(\sqrt{bc})^5$\geq$a^3$
Tương tự: $b^3$ $(\sqrt{ac})^5$\geq$b^3$ ; $c^3$ $(\sqrt{ab})^5$\geq$c^3$
\Rightarrow$a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$\geq$a^3$+$b^3$+$c^3$ (2)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
$a^3$+$a^3$+$b^3$\geq3$\sqrt[3]{a^6b^3}$=3$a^2b$
$b^3$+$c^3$+$c^3$\geq$3\sqrt[3]{b^3c^6}$=$3bc^2$
$a^3$+$c^3$+$c^3$\geq3$\sqrt[3]{a^3c^6}$=$3c^2a$
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta đk: $a^3$+$b^3$+$c^3$ \geq $a^2b$+$b^2c$+$c^2a$ (3)
Từ (2) và (3)\Rightarrow$a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$ \geq $a^2b$+$b^2c$+$c^2a$
\Rightarrow27($a^3b^3c^2$+$a^2b^3c^3$+$a^3b^2c^3$) \geq 27($a^2b$+$b^2c$+$c^2a$)
\Rightarrow$(ab+bc+ca)^4$\geq27($a^2b$+$b^2c$+$c^2a$)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn