[Toán 10] Bất đẳng thức

[tranvanhung7997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1 + \sqrt[]{1 + x^2}}{x} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + y^2}}{y} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + z^2}}{z} \le xyz$$

2.Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:
$$ab + bc + ca \ge 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 5abc$$

3.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} + \sqrt[]{z} = 2013$
Tìm GTLN: $$P = \sqrt[]{\dfrac{xy}{x + y + 2z}} + \sqrt[]{\dfrac{yz}{y + z + 2x}} + \sqrt[]{\dfrac{zx}{z + x + 2y}}$$

 

[lan_phuong_000]

2.Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:
$$ab + bc + ca \ge 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 5abc$$

Nghĩ ra cách hơi bị tệ hại
Đặt t = ab + bc + ca ($0 \le t \le \dfrac{1}{3}$)
\Rightarrow $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = t^2 - 2abc(a + b + c) = t^2 - 2abc$

Bpt trở thành $t \ge 4t^2 - 3abc$ (1)

Ta có: $ 1 = a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ \Rightarrow $-3abc \ge \dfrac{-1}{9}$

(1) \Leftrightarrow $t \ge 4t^2 - \dfrac{1}{9}$

Dễ dàng CM bpt trên đúng với $0 \le t \le \dfrac{1}{3}$

 

[braga]

$\fbox{2}.$ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$ab + bc + ca \ge 4{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} - 8abc\left( {a + b + c} \right) + 5abc$$

$$ \Leftrightarrow 4{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} - \left( {ab + bc + ca} \right) - 3abc \le 0$$

Sử dụng phương pháp $p,q,r;p = 1$ ta có

$$VT = 4{q^2} - q - 3r = 4{q^2} - {p^2}q - 3pr \le 0$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, suy ra điều phải chứng minh.

 

[braga]

$\fbox{3}.$ Theo giả thiết tồn tại ba góc nhọn của một tam giác thỏa mãn $x = \tan A;y = \tan B;z = \tan C$.
Ta có $$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {{\tan }^2}A} }}{{\tan A}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos A}}}}{{\dfrac{{\sin A}}{{\cos A}}}} = \dfrac{{\cos A + 1}}{{\sin A}} = c{\rm{ot}}\frac{A}{2}$$
Tương tự ta có
$$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} = \cot \dfrac{B}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} = \cot \dfrac{C}{2}$$
Khi đó $$VT = \cot \dfrac{A}{2} + \cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2} \le 3\sqrt 3 \le \tan A.\tan B.\tan C = VP$$.
Bất đẳng thức được chứng minh.