[Toán 10] Bất đẳng thức

[tranvanhung7997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc + bcd + cda +dab =1
Tìm minP=[TEX]4(a^3+b^3+c^3)+9d^3[/TEX]
Bài này mình nghĩ mãi không ra. Bạn biết thì bày cho mình với nhé

Mình nghĩ làm thế này nhưng ra số lẻ nên không biết có đúng không
Dễ thấy dấu "=" có <=> a=b=c. Vì vậy cần tạo để dấu "=" xảy ra.
Áp dụng BĐT CÔ SI ta có: [TEX]m.a^3+m.b^3+m.c^3\geq3mabc[/TEX]
và: [TEX]n.b^3+n.c^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}bcd[/TEX]
T/tự: [TEX]n.c^3+n.a^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}cda[/TEX]
[TEX]n.a^3+n.b^3+3d^3 \geq 3\sqrt[3]{3n^2}bcd[/TEX]
Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:
[TEX](m+2n).(a^3+b^3+c^3) \geq 3.(m+\sqrt[3]{3n^2}).(abc + bcd + cda +dab)[/TEX]
Ta phải cân bằng hệ số m và n để sử dụng giả thiết abc + bcd + cda +dab =1
\Rightarrow Cần giải hệ: [TEX]\left\{\begin{m+2n=4 \\ m=\sqrt[3]{3n^2}}[/TEX]
Tìm ra nghiệm (m; n) sau thay số vào bài là xong.
Giải hệ đó PT(1) mình rút n qua m rồi thay vào PT(2) thì lên bậc 3 có nghiệm lẻ nhưng giải được thôi vì PT bậc 3 có cách giải tổng quát mà.

 

[vansang02121998]

Đi thi làm đến đoạn tìm $x$, đúng là tìm đến cháy máy tính

$4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge 3\sqrt[3]{3x^2}(abd+bcd+acd)+3(4-2x)abc$

Cần tìm $x$ thỏa

$4-2x=\sqrt[3]{3x^2}$

$\Leftrightarrow (4-2x)^3=3x^2$

$\Leftrightarrow 8x^3-45x^2+96x-64=0$

Đặt $x=\sqrt[3]{u}-\dfrac{31}{64\sqrt[3]{u}}+\dfrac{15}{8}$, ta có phương trình

$\dfrac{262144u^2+345088u-29791}{32768u}=0$

Tìm được $u=\dfrac{-337 \pm 64\sqrt{35}}{512}$

$\Rightarrow x=\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+\dfrac{15}{8}$

$\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}}$

$d=\dfrac{\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15}{\sqrt[3]{24+24\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}}$