[Toán 10] Bất đẳng thức

S

soicon_boy_9x

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a} \geq 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a} \geq
2+\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a} \geq 5
- \dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a}+
\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \geq 5$

Ta chứng minh $ \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a}+
\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \geq 5$

Ta có:

$ \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a}= \dfrac { 2a^2 }
{ ab+ac }+\dfrac{2b^2}{bc+ab}+\dfrac{2c^2}{ca+cb} \geq
\dfrac{2(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a}+
\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+
\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} =\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+
\dfrac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-\dfrac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \geq
2\sqrt{\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.\dfrac{9(ab+bc+ca)}
{(a+b+c)^2}}-1=5$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a}+
\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \geq 5$

$\leftrightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a} \geq
3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}(dpcm)$

Dấu "=" khi a=b=c


 
H

harrypham

soicon_boy_9x said:
$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{b+a} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
PP. Lời giải bác soi hay quá!!! Đóng góp cách khác vậy :p
Lời giải. Ta có $$ \sum \dfrac{2a}{b+c}-3 = \sum \dfrac{(a-b)+(a-c)}{b+c} = \sum (a-b) \left( \dfrac{1}{b+c}- \dfrac{1}{c+a} \right) = \sum \dfrac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}$$
Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$(a-b)^2 \left[ \dfrac{1}{(b+c)(c+a)} - \dfrac{1}{(a+b+c)^2} \right] + (b-c)^2 \left[ \dfrac{1}{(a+c)(a+b)} - \dfrac{1}{(a+b+c)^2} \right]+ (c-a)^2 \left[ \dfrac{1}{(b+c)(b+a)}- \dfrac{1}{(a+b+c)^2} \right] \ge 0$$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
 
C

conga222222

$\eqalign{
& chang\;hieu\;phuong\;phap\;S.O.S\;@@\;nhung\;cung\;dong\;gop\;1\;cach: \cr
& chuan\;hoa\;a + b + c = 3\;(cach\;chuan\;hoa\;thi\;chac\;ban\;biet\;roi\;ko\;can\;noi\;nua\;:)) \cr
& \to bdt\;da\;cho\;tro\;thanh:\;{{2a} \over {b + c}} + {{2b} \over {c + a}} + {{2c} \over {a + b}} \ge 3 + {{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \over 9} \cr
& \leftrightarrow {{2a} \over {b + c}} + {{2b} \over {c + a}} + {{2c} \over {a + b}} \ge 3 + {{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 6\left( {ab + bc + ca} \right)} \over 9} \cr
& \leftrightarrow {{2a} \over {b + c}} + {{2b} \over {c + a}} + {{2c} \over {a + b}} + {{6\left( {ab + bc + ca} \right)} \over 9} \ge 5 \cr
& \cos i:{{2a} \over {b + c}} + {{2b} \over {c + a}} + {{2c} \over {a + b}} + ab + bc + ca = {{2a} \over {b + c}} + {{a\left( {b + c} \right)} \over 2} + {{2b} \over {c + a}} + {{b\left( {c + a} \right)} \over 2} + {{2c} \over {a + b}} + {{c\left( {a + b} \right)} \over 2} \ge 2a + 2b + 2c = 6 \cr
& \leftrightarrow {{2a} \over {b + c}} + {{2b} \over {c + a}} + {{2c} \over {a + b}} + {{6\left( {ab + bc + ca} \right)} \over 9} \ge 6 - {{3\left( {ab + bc + ca} \right)} \over 9} \ge 5\;\;\;\left( {de\;dang\;cmab + bc + ca \le 3} \right) \cr
& \to dpcm \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c \cr} $
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom