[Toán 10] Bất đẳng thức

[happy.swan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

VD1: Cho ba số thực a, b, c là ba số thực kacs 1 thoả mã: abc=1.
Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2}$ \geq 1.

VD2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+ba}$

Cám ơn mọi người vì đã giúp đỡ!

 

[vy000]

Bài 1 có a,b,c>0 không bạn?
Bài 2:
Đặt $a=\dfrac xy ; b=\dfrac yz ; c=\dfrac zx$

Ta cần tìm gtnn của: $\dfrac{y^2z^2}{x^2z^2+xy^2z}+\dfrac{z^2x^2}{y^2x^2+yz^2x}+\dfrac{x^2y^2}{z^2y^2+zx^2y}$

Đặt $xy=m;yz=n;zx=p$

Ta cần tìm gtnn:

$\dfrac{m^2}{n^2+mp} + \dfrac{n^2}{p^2+nm}+\dfrac{p^2}{m^2+np}$

Có $\dfrac{2m^2}{n^2+mp} \ge \dfrac{2m^2}{n^2+\dfrac{m^2+p^2}2} \ge \dfrac{m^2}{n^2+p^2}+\dfrac{m^2}{n^2+m^2}$ (dấu $\ge$ thứ 2 bạn biến đổi tương đương nhé )
ok ^^

 

[noinhobinhyen]

nếu $a,b,c > 0$ và $abc=1$ thì tồn tại ít nhất 1 số $> 1$

giả sử $a > 1 \Rightarrow \dfrac{a^2}{(a-1)^2} > 1$

$\Rightarrow$ đpcm.

nếu ko có $a,b,c > 0$ thì bạn chỉ hộ mình dấu [=] xảy ra là mình sẽ làm giúp bạn theo cách khác.

cách này làm là được nhưng cần biết dấu [=]

 

[noinhobinhyen]

Sr m.n nhé. Bài 1 đúng đề rồi.

với abc=1 thì ta đặt $a=\dfrac{x^2}{yz} ; b=\dfrac{y^2}{xz} ; c=\dfrac{z^2}{xy}$

$x^2 \not= yz ; y^2 \not= xz ; z^2 \not= xy$

vậy ta có:

$\dfrac{a^2}{(a-1)^2}+\dfrac{b^2}{(b-1)^2}+\dfrac{c^2}{(c-1)^2}$

$=\dfrac{x^4}{(x^2-yz)^2}+\dfrac{y^4}{(y^2-xz)^2}+\dfrac{z^4}{(z^2-xy)^2}$

$\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x^2-yz)^2+(y^2-xz)^2+(z^2-xy)^2}$

Vậy để có đpcm ta cần chứng minh:

$(x^2+y^2+z^2)^2 \geq (x^2-yz)^2+(y^2-xz)^2+(z^2-xy)^2$

$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2 \geq 0$

vậy ta có đpcm.