[Toán 10] Bất đẳng thức.

[be_mum_mim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b, c >0 thoả mãn abc=1.
Cứng minh rằng:
3+\frac{a}{b}+$\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ \geq $ a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 2: Cho a, b, c>0 thoả mãn abc=1.
Chứng minh rằng:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})$ \leq 1





>-

 

[vy000]

2 bài này bạn đều đặt $a=\dfrac xy ; b=\dfrac yz ; c=\dfrac zx$ với $x,y,z>0$ để đưa về BĐT đồng bậc

 

[be_mum_mim]

2 bài này bạn đều đặt $a=\dfrac xy ; b=\dfrac yz ; c=\dfrac zx$ với $x,y,z>0$ để đưa về BĐT đồng bậc

Thì mình có hướng như vậy nhưng chủ yếu là biến đổi thế nào để chuẩn hoá thôi.

 

[happy.swan]

Mọi người giúp mình bài 1 đi.
Mình đặt nhưng biến đổi mãi không ra mà.

 

[vy000]

Bài 1:
Đặt ,ta có BĐT \Leftrightarrow $3+\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2} \ge \dfrac xy+\dfrac yz+\dfrac zx + \dfrac ỹ+\dfrac zy+\dfrac xz$

\Leftrightarrow $\dfrac{(z-x)(z-y)}{z^2}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{y^2}+\dfrac{(x-z)(x-y)}{x^2} \ge 0$

\Leftrightarrow $\dfrac{(x-y)(y-z)}{y^2}+\dfrac{(y-z)(z-x)}{z^2}+\dfrac{(z-x)(x-y)}{x^2} \le 0$

\Leftrightarrow $(x-y)(\dfrac{y-z}{y^2}+\dfrac{z-x}{x^2})+\dfrac{yz+xz-xy-z^2}{z^2} \le 0$

\Leftrightarrow $(x-y)^2\dfrac{xy-yz-zx}{x^2y^2}-\dfrac{xy-yz-zx}{z^2}-1 \le 0$

\Leftrightarrow $(xy-yz-zx)(\dfrac{(x-y)^2}{x^2y^2}-\dfrac1{z^2}) \le 1$

\Leftrightarrow $(xy-yz-zx)(zx-zy-xy)(zx-zy+xy)\dfrac1{x^2y^2z^2} \le 1$

\Leftrightarrow $(yz+zx-xy)(yz-xy-zx)(xy+xz-yz) \le x^2y^2z^2$

Đặt $xy=m;yz=n;zx=p$ với $m,n,p >0$,ta có BĐT cần cm \Leftrightarrow $mnp \ge (m+n-p)(n+p-m)(m+p-n)$

Giả sử $m \ge n \ge p$

Ta có: $m+n-p ; m+p-n \ge 0 $

Nếu $n+p-m \ge 0$

Ta có: $m^2 \ge m^2-(n-p)^2 = (m+n-p)(m+p-n)$
Tương tự $n^2 \ge (n+p-m)(n+m-p) \\ p^2 \ge (m+p-n)(n+p-m)$

Ta có đpcm

Nếu $n+p-m \le 0$, luôn đúng vì 1 vế $\ge 0$, 1 vế $ \le 0 $

Phần chứng minh này cũng dùng luôn cho bài 2 nha ^^