[Toán 10] Bất đẳng thức.

[happy.swan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng

$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq\frac{a+b+c}{4}$


Cám ơn mọi người!

 

[smilelove_chuotxinh]

- Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=abc$

- Áp dụng BĐT $\dfrac{a^3}{x}+\dfrac{b^3}{y}+\dfrac{c^3}{z}\ge \dfrac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$ với $a,b,c,x,y,z>0$, ta có:
$$\begin{matrix}
VT&=\sum_{cyc} \dfrac{a^3}{a^2+abc}=\sum_{cyc} \dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca} \\
& \ge \dfrac{1}{3} \dfrac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}=VP
\end{matrix}$$

Vậy BĐT đã cho được c/m. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3\ \square$